प्रतिशत की मूल अवधारणाएँ (Basic Concepts of Percentage)

Overview

इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Basic Concepts of Percentage, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• Percent Change
• Successive Percent Change

प्रतिशत - एक संख्या जिसे 100 के अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है (प्रतिशत का अर्थ है "प्रति 100")
यह उस अनुपात का अंश होता है, जिसका हर (या आधार) 100 है।
इसे "%" द्वारा दर्शाया जाता है|

किसी भी अनुपात को प्रतिशत में बदलने के लिए हमें हर को 100 बनाना होगा।

4 में से - काम पूरा हुआ 1 (अर्थार्थ, 1 प्रति 4)
1 में से - काम पूरा हुआ \((\frac{1}{4} \))
100 में से - काम पूरा हुआ \((\frac{1}{4} \)) × 100 = 25%

कुछ और उदाहरण:

\((\frac{50}{200}) = (\frac{25}{100} \)) = 25%

\((\frac{40}{50} ) = ( \frac{80}{100} \)) = 80%

प्रतिशत को भिन्न में बदलने के लिए, इसे 100 से विभाजित करें।
25% ≡ 0.25 (यानी 1:4 का अनुपात)

(% ≡ \(\frac{1}{100} \))

नोट

प्रतिशत सूत्र:

y के प्रतिशत के रूप में x = \(( \frac{x}{y} \)) × 100%

प्र. 15 कितना प्रतिशत है 60 का?

प्रश्न. वह संख्या ज्ञात कीजिए जो 120 की 40% है।

व्याख्या :
1 2 3

प्र. x का x% = 64. तो, x का पता लगाएं|

व्याख्या :

टिप

y का x% = x/100 × y% = xy/100%
x का y% = y/100 × x% = xy/100%

नोट

y का x% = x का y%

प्र. 50 का 8% ज्ञात करें|

व्याख्या :

प्रतिशत आधारित सरलीकरण (Percentage based Simplification)

प्रश्न प्रकार: y का x% ज्ञात करें

फॉर्मूला विधि (Formula Method)

y का x% = \(( \frac{x}{100} \)) × y
जैसे की, 70 का 30% = \(( \frac{30}{100} \)) × 70 = 21

गुणन विधि (Multiplication Method)

70 का 30% = 3 × 7 = 21
120 का 15% = 1.5 × 12 = 18
32 का 35% = 3.5 × 3.2 = ? (इसकी गणना करना कठिन है। इसलिए, ऐसे मामलों में हम प्रतिशत या संख्या को विभाजित कर सकते हैं।)

प्रतिशत का बंटवारा करना (Splitting the percentage)

90 का 45% = ?

45% = 40% + 5%
90 का 10% = 9 और 90 का 5% = 4.5
तो, 90 का 45% = (9 × 4) + 4.5 = 36 + 4.5 = 40.5

या

45% = 50% - 5%
90 का 50% = 45 और 90 का 5% = 4.5
तो, 90 का 45% = 45 - 4.5

संख्या का बंटवारा करना (Splitting the number)

90 का 45% = ?

90 = 100 - 10
100 का 45% = 45 और 10 का 45% = 4.5
तो, 90 का 45% = 45 - 4.5

प्र. 52 का 20% = ?

व्याख्या :
1 2

प्र. 32 का 35% = ?

व्याख्या:

प्र. 124 का 27% = ?

व्याख्या :
1 2

प्र. एक संख्या का 60% 360 है। उसी संख्या का 99% क्या होगा ?

व्याख्या :
1 2 2

लेकिन क्या होगा यदि प्रश्न में डेटा अजीब सा हो ?
जैसे की, 63 के 14.28% की गणना करें।
इसके लिए हमें कुछ भिन्नों के समतुल्य प्रतिशत मानों को जानना होगा|

प्रतिशत-भिन्न रूपांतरण (Percentage-Fraction Conversion)

प्रतिशत - भिन्न रूपांतरण तालिका (Percent - Fraction Conversion Table)

भिन्न का प्रतिशत में रूपांतरण (Conversion of Fraction into Percentage)

हम जानते हैं कि: y के प्रतिशत के रूप में x = (x/y) × 100%

हमारे पास पहले से ही एक भिन्न है, अर्थात हम पहले से ही x/y जानते हैं|

अतः भिन्न को प्रतिशत में बदलने के लिए भिन्न को 100 से गुणा करें, और '%' का चिह्न लगाएं।

प्र. 1/2 को प्रतिशत में बदलें

व्याख्या:

प्र. 14/5 को प्रतिशत में बदलें

व्याख्या:

प्र. 11/12 को प्रतिशत में बदलें

व्याख्या:

प्रतिशत का भिन्न में रूपांतरण (Conversion of Percentage into Fraction)

हम जानते हैं कि: y के प्रतिशत के रूप में x = x/y × 100%

हमारे पास पहले से ही प्रतिशत है। हमें बस x/y का पता लगाने की जरूरत है|

इसलिए, प्रतिशत को भिन्न में बदलने के लिए, '%' चिह्न को 1/100 से बदलें और भिन्न को सरलतम रूप में परिवर्तित करें।

प्रश्न. 20% को भिन्न में बदलें

व्याख्या:

प्रश्न. 166 \(\frac{2}{3}\)% को भिन्न में बदलें

प्रश्न. 457 \(\frac{1}{7}\)% को भिन्न में बदलें

प्रश्न. 80 के 25% की गणना करें

व्याख्या:

प्रश्न. 63 का 14.28% ज्ञात करें

व्याख्या:

प्रश्न. 1455 के 20.5% - 915 के 13.33% की गणना करें

व्याख्या:

प्रतिशत में आधार की अवधारणा (Concept of Base in Percentage)

y के प्रतिशत के रूप में x = x/y × 100% - यहाँ y आधार है

जैसे की, मृगांक ने 60% अंक प्राप्त किए - तो यहाँ अधिकतम अंक आधार होगा

क्यूंकि यहाँ प्रतिशत दिया गया है, इसलिए मृगांक द्वारा प्राप्त असल अंक आधार बदलने पर बदलते रहेंगे।
यदि अधिकतम अंक 100 हैं, तो 60% अंक = 60
यदि अधिकतम अंक 120 हैं, तो 60% अंक = 72

अगर यह दिया जाये, कि मृगांक ने 60 अंक प्राप्त किए - इसका मतलब है कि x दिया गया है

क्यूंकि यहाँ मृगांक द्वारा प्राप्त असल अंक दिए गए हैं, इसलिए आधार बदलने पर प्रतिशत बदलते रहेंगे।
यदि अधिकतम अंक 100 हैं, तो 60 अंकों का प्रतिशत = 60%
यदि अधिकतम अंक 120 हैं, तो 60 अंकों का प्रतिशत = 50%

प्रश्न. देश A अपने सकल घरेलू उत्पाद का क्रमशः 2% और 3% स्वास्थ्य और शिक्षा पर खर्च करता है। जबकि देश B अपने सकल घरेलू उत्पाद का क्रमशः 3% और 4% स्वास्थ्य और शिक्षा पर खर्च करता है।

(a) देश A द्वारा स्वास्थ्य पर खर्च, देश B द्वारा स्वास्थ्य पर खर्च से कम है
(b) देश A द्वारा स्वास्थ्य पर खर्च, देश B द्वारा स्वास्थ्य पर खर्च से अधिक है
(c) देश A द्वारा शिक्षा पर खर्च, देश B द्वारा शिक्षा पर खर्च से कम है
(d) देश B स्वास्थ्य की तुलना में शिक्षा पर अधिक खर्च करता है।

व्याख्या:

प्रतिशत में आधार परिवर्तन की अवधारणा (Concept of Base Change in Percentage)

आरेख:

प्रश्नो के प्रकार:

प्रतिशत परिवर्तन उत्क्रमण (Percent Change Reversal) – यदि x को y तक बढ़ाया / घटाया जाता है, तो इसे मूल मान पर वापस लाने के लिए y को कितने प्रतिशत घटाया / बढ़ाया जाना चाहिए?

यदि B, A से p% अधिक/कम है, तो A, B से कितना प्रतिशत कम/अधिक है?

यदि z = x × y, और x में p% की वृद्धि/कमी होती है, तो z के समान मान को बनाए रखने के लिए y को कितने प्रतिशत घटाया/बढ़ाया जाना चाहिए?

पारंपरिक विधि (Traditional method)

यहाँ हम चरों (variables) का का उपयोग करेंगे|

प्रश्न. यदि मृगांक का वेतन आन्या के वेतन से 20% अधिक है, तो आन्या का वेतन मृगांक के वेतन से कितना प्रतिशत कम है?

व्याख्या:

सूत्र विधि (Formula Method)

आरेख:

यदि एक मान x में p% की वृद्धि की जाती है, तो मूल x पर वापस जाने के लिए, हमें बढ़े हुए मान को \(\frac{p}{100+p}\) × 100% घटाना होगा।
या
यदि y, x से p% अधिक है, तो x, y से \(\frac{p}{100+p}\) × 100% कम है।

आरेख:

यदि एक मान x को p% से घटाया जाता है, तो मूल x पर वापस जाने के लिए, हमें घटाए गए मान को \(\frac{p}{100-p}\) × 100% बढ़ाना होगा।
या
यदि y, x से p% कम है, तो x, y से \(\frac{p}{100-p}\) × 100% अधिक है।

प्रश्न. यदि मृगांक का वेतन आन्या के वेतन से 20% अधिक है, तो आन्या का वेतन मृगांक के वेतन से कितना प्रतिशत कम होगा ?

व्याख्या:

प्रतिशत विधि (Percentage Method)

आरेख:

प्रश्न. यदि मृगांक का वेतन आन्या के वेतन से 20% अधिक है, तो आन्या का वेतन मृगांक के वेतन से कितना प्रतिशत कम है?

व्याख्या:

Explanation 3: प्रतिशत विधि
मृगांक का वेतन, आन्या के वेतन से 20% अधिक है। - अतः, आधार आन्या का वेतन है।
यदि आन्या का वेतन = 100, तो मृगंक का वेतन = 120
आन्या का वेतन मृगांक के वेतन से कितना प्रतिशत कम है। - अब, आधार मृगांक की तनख्वाह है।

वेतनों में अंतर वही रहेगा, यानी 20। लेकिन अब आधार 120 होगा।
आवश्यक प्रतिशत = (20/120) × 100 = (1/6) × 100 = 16.67%

भिन्न विधि (Fraction Method)

आरेख:

• वृद्धि: भिन्न के संदर्भ में, यदि किसी मान x में पहले p% (= n/d) की वृद्धि की जाती है, तो मूल संख्या x पर वापस जाने के लिए, हमें बढ़े हुए मान को \(\frac{d}{d+n}\) से कम करना होगा। (जहाँ d हर है, और n अंश है)

• घटाव: भिन्न के संदर्भ में, यदि एक मान x को पहले p% (= n/d) से घटाया जाता है तो मूल संख्या x पर वापस जाने के लिए, हमें बढ़े हुए मान को \(\frac{d}{d-n}\) से बढ़ाना होगा| (जहाँ d हर है, और n अंश है)

उदाहरण के लिए, एक संख्या में 25% की वृद्धि की जाती है
25% = 𝒏/𝒅 = /𝟒 - इसका मतलब है कि 4 पर 1 की वृद्धि
तो, मूल संख्या ≡ 4 (अर्थात d)
और नया नंबर ≡ 4 + 1 = 5 (यानी d + n)
5 को फिर से 4 तक नीचे लाने के लिए आवश्यक प्रतिशत परिवर्तन = 1/5 ≡ 20%

दूसरी ओर, यदि किसी संख्या में 25% की कमी की जाती है
25% = 𝒏/𝒅 = /𝟒 - इसका मतलब है कि 4 पर 1 की कमी
तो, मूल संख्या ≡ 4 (अर्थात d)
और नया नंबर ≡ 4 - 1 = 3 (अर्थात d - n)
3 को फिर से 4 तक लाने के लिए आवश्यक प्रतिशत परिवर्तन = 1/3 ≡ 33.33%

प्रश्न. यदि मृगांक का वेतन आन्या के वेतन से 20% अधिक है, तो आन्या का वेतन मृगांक के वेतन से कितना प्रतिशत कम है?

व्याख्या:

व्याख्या 4: भिन्न विधि
20%, 1/5 के समान है
यदि आन्या का वेतन = 5, तो मृगांक का वेतन = 6
वेतनों में अंतर वही रहेगा, यानी 1, लेकिन अब आधार 6 होगा।
आवश्यक प्रतिशत = 1/6 × 100 = 16.67%

प्रश्न. यदि मृगांक का वेतन आन्या के वेतन से 20% कम है, तो आन्या का वेतन मृगांक के वेतन से कितना प्रतिशत अधिक है?

व्याख्या :
1 2 3

व्याख्या 2: प्रतिशत विधि
मृगांक का वेतन, आन्या के वेतन से 20% कम है। - अतः, आधार आन्या का वेतन है।
यदि आन्या का वेतन = 100, तो मृगांक का वेतन = 80
आन्या का वेतन मृगांक के वेतन से कितना प्रतिशत अधिक है। - अब, आधार मृगांक की तनख्वाह है।

वेतनों में अंतर वही रहेगा, यानी 20। लेकिन अब आधार 80 होगा।
आवश्यक प्रतिशत = (20/80) × 100 = 1/4 × 100 = 25%

व्याख्या 3: भिन्न विधि
20%, 1/5 के समान है
यदि आन्या का वेतन = 5, तो मृगांक का वेतन = 4
वेतनों में अंतर वही रहेगा, यानी 1, लेकिन अब आधार 4 होगा।
आवश्यक प्रतिशत = (1/4) × 100 = 25%

कौनसी विधि बेहतर है - प्रतिशत विधि या भिन्न विधि?

हमें कौनसी विधि का उपयोग करना चाहिए - प्रतिशत विधि (Percentage Method) या भिन्न विधि (Fraction Method) ?

आइए, कुछ उदाहरणों का उपयोग करके इसे समझने की कोशिश करें।

प्र. किसी संख्या में 37.5% की वृद्धि करने पर प्राप्त नई संख्या मूल संख्या से 63 अधिक है। मूल संख्या क्या रही होगी ?

व्याख्या :
1 2

प्र. एक संख्या में 37.5% की वृद्धि करने पर, प्राप्त नई संख्या 231 है। मूल संख्या क्या रही होगी ?

व्याख्या :
1 2

जैसे-जैसे आप अभ्यास करते रहेंगे, आप इस बात की बेहतर समझ विकसित करेंगे कि प्रश्न में दिए गए डेटा के हिसाब से किस विधि का उपयोग करना है।

आधार परिवर्तन की अवधारणा (अगर xy अचल हो)

आधार परिवर्तन की अवधारणा तब भी लागू होती है जब दो चरों का गुणनफल अचल (constant) हो।

मान लीजिए कि दो मात्राएँ x और y हैं, जो गुणा करने पर मात्रा z बनाती हैं।
हम कह सकते हैं: z = x × y

जैसे की, कुल व्यय = मूल्य × मात्रा
कुल बिक्री = मात्रा में बिक्री × मूल्य प्रति इकाई
कुल कार्य = दक्षता × समय
दूरी = गति × समय
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

• मान लें कि x या y में a% की वृद्धि हुई है, तो:
  z = x (1 + 𝑎/100) × y = x y (1 + 𝑎/100) = z (1 + 𝑎/100)
  तो x या y को कुछ प्रतिशत से बढ़ाने का मतलब है, कि z उसी प्रतिशत से बढ़ेगा।
  

इसलिए, हम x को आनुपातिक तरीके से घटाकर, x में हुई वृद्धि की भरपाई कर सकते हैं।
या, हम आनुपातिक तरीके से y को घटाकर, x में हुई वृद्धि की भरपाई कर सकते हैं।
या, हम आनुपातिक तरीके से z को घटाकर, z में हुई वृद्धि की भरपाई कर सकते हैं।
तीनों मामलों में उत्तर एक ही होगा।

• यदि x (किसी वस्तु की कीमत) में p% की वृद्धि होती है, तो y (खपत की गई मात्रा) में (\(\frac{p}{100+p}\)) × 𝟏𝟎𝟎% की कमी की जानी चाहिए, ताकि कुल व्यय पहले जितना ही रहे।

• यदि x (किसी वस्तु का मूल्य) p% कम हो जाता है, तो y (खपत मात्रा) में (\(\frac{p}{100-p}\)) × 𝟏𝟎𝟎% की वृद्धि की जानी चाहिए, ताकि कुल व्यय पहले जितना ही रहे।

प्र. किसी वस्तु की कीमत में 60% की वृद्धि हुई है। एक उपभोक्ता को उस वस्तु की खपत को कितने प्रतिशत तक कम करना चाहिए, ताकि व्यय में वृद्धि न हो?

(a) 37%         (b) 37.5%          (c) 40.5%          (d) 60%

व्याख्या :
1 2