आनुक्रमिक प्रतिशत परिवर्तन की अवधारणा (Concept of Successive Percent Change)

Overview

इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Concept of Successive Percent Change, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• Percent Basics
• Percent Change

आनुक्रमिक प्रतिशत परिवर्तन की अवधारणा

मान लीजिए कि एक संख्या x में a% और फिर b% का प्रतिशत परिवर्तन होता है, तो:

कुल प्रतिशत परिवर्तन ≠ (a + b)%

क्या आप अनुमान लगा सकते हैं, की ऐसा क्यों है ?

कुल प्रतिशत परिवर्तन दो प्रतिशत परिवर्तनों का साधारण जोड़ नहीं होता है, क्योंकि पहले परिवर्तन के बाद आधार बदल जाता है।

a% परिवर्तन के बाद नया नंबर = x × (1 + $\frac{a}{100}$)

तो, b% परिवर्तन के बाद नया नंबर = [x × (1 + $\frac{a}{100})] × (1 + \frac{b}{100}$)

तो, आनुक्रमिक a% और b% परिवर्तन के बाद नई संख्या = x × ($\frac{a}{100}) × (\frac{b}{100}) = x × [1 + \frac{𝑎 + 𝑏 + \frac{ab}{100}}{100}$]

तो, कुल प्रतिशत परिवर्तन = 𝑎 + 𝑏 + $\frac{ab}{100}$

परिवर्तन (Net Change) वृद्धि है या कमी है, यह अंतिम परिणाम के संकेत से ज्ञात होगा| यदि अंतिम परिणाम घनात्मक (positive) है, तो इसका मतलब है की वृद्धि हुई है, मगर अगर अंतिम परिणाम नकारात्मक (negative) है, तो इसका मतलब है की कमी हुई है।

यदि 2 से अधिक लगातार प्रतिशत परिवर्तन होते हैं, तो हम दो-दो की जोड़ी में क्रमिक रूप से प्रतिशत परिवर्तन सूत्र लागू कर सकते हैं।

नोट

क्रमिक प्रतिशत वृद्धि / कमी में, प्रतिशत का क्रम मायने नहीं रखता। आप किसी को भी पहले लगा सकते हैं, जवाब वही मिलेगा।

क्यूंकि, x × (1 + $\frac{a}{100}) × (1 + \frac{b}{100}) = x × (1 + \frac{b}{100}) × (1 + \frac{a}{100}$)

प्र. यदि मृगांक का वेतन पहले वर्ष 20% और अगले वर्ष 10% बढ़ जाता है, तो इन 2 वर्षों में उसके वेतन में कुल प्रतिशत वृद्धि क्या होगी?

व्याख्या :
1 2 3 4 5

प्र. एक व्यक्ति ने एक शेयर में एक निश्चित राशि का निवेश किया था। शेयर एक दिन में 100% बढ़ा, और अगले दिन 50% गिर गया। व्यक्ति द्वारा प्राप्त किए गए लाभ/हानि का प्रतिशत कितना है?

(a) 50% लाभ
(b) 0% लाभ
(c) 50% हानि
(d) निर्धारित नहीं किया जा सकता

व्याख्या:

नोट

सुझाव:

कुल प्रतिशत परिवर्तन सूत्र पद्धति का उपयोग तब करें, यदि दिया गया प्रतिशत डेटा पूर्णांकों में हो, लेकिन वो पूर्णांक अजीब से हों, जैसे की 17% की वृद्धि, 19% की वृद्धि - इस प्रकार के डेटा में प्रतिशत विधि या भिन्न विधि का उपयोग करना कठिन होगा|

यदि दिया गया प्रतिशत डेटा ऐसे पूर्णांकों में है जो आसान हों (जैसे 20% वृद्धि, 15% वृद्धि), तो प्रतिशत विधि का उपयोग करें - इस प्रकार के डेटा में आप या तो सूत्र विधि या भिन्न विधि का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन प्रतिशत विधि सबसे तेज़ साबित होगी|

भिन्न विधि का उपयोग करें यदि दिया गया प्रतिशत डेटा ऐसे दशमलव में हो, जिन्हें भिन्नों में परिवर्तित करना आसान हो (जैसे 16.67% की वृद्धि, 12.5% ​​की वृद्धि) - इस प्रकार के डेटा में प्रतिशत विधि या सूत्र विधि का उपयोग करना कठिन होगा|

प्र. यदि किसी पुस्तक की कीमत में 22.22% की कमी की जाती है, और फिर 50% की वृद्धि की जाती है, तो उसके मूल्य में कुल प्रतिशत परिवर्तन कितना हुआ होगा ?

व्याख्या: भिन्नों का उपयोग करके

विशेष मामला (Special case)

जब हम कुल प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हैं, तो हमें कभी-कभी एक विशेष स्थिति का सामना करना पड़ता है।

• यदि किसी संख्या में पहले a% की वृद्धि की जाती है, और फिर उसमें a% की कमी की जाती है, तो कुल प्रभाव हमेशा कमी होने वाला होता है :
  

a – a – $\frac{a^2}{100} = - \frac{a^2}{100}$%

• यह कुल प्रतिशत परिवर्तन समान रहेगा, भले ही उस संख्या को पहले a% घटाया जाए और फिर इसे a% बढ़ा दिया जाए।
  

-a + a – $\frac{a^2}{100} = - \frac{a^2}{100}$%

तो, दोनों ही मामलों में उत्तर एक ही है, यानी - $\frac{a^2}{100}$%

प्र. यदि एक जूट बैग की कीमत में 20% की वृद्धि की जाती है, और फिर 20% की कमी की जाती है, तो इसकी कीमत में कुल प्रतिशत परिवर्तन क्या होगा?

व्याख्या :
1 2 3

z = x × y

मान लीजिए कि दो मात्राएँ x और y हैं, जो गुणा करके एक मात्रा z बनाती हैं। हम कह सकते हैं:
z = x × y

मान लें कि x को a% बदल दिया जाता है, और y को b% बदल दिया जाता है, तो:

z = x (1 + $\frac{a}{100}) × y (1 + \frac{b}{100}) = x y × [1 + \frac{𝑎 + 𝑏 + \frac{ab}{100}}{100} ] = z × [1 + \frac{𝑎 + 𝑏 + \frac{ab}{100}}{100}$]

तो x और y को क्रमशः a% और b% से बदलने का मतलब है, कि z इतना बदल जायेगा :

𝑎 + 𝑏 + $\frac{ab}{100}$

तो, प्रश्न मूल रूप से यह रह जाता है:
यदि z को क्रमिक रूप से a% और फिर b% से बदला जाता है, तो कुल प्रतिशत परिवर्तन क्या है?

नोट

अर्थात्, x को a% और y को b% से बदलना ≡ z को क्रमिक रूप से a% और b% से बदलना

आइए, कुछ उदाहरण देखें:

प्र. यदि एक आयत की लंबाई 40% बढ़ जाती है, और चौड़ाई 20% घट जाती है, तो क्षेत्रफल में कुल परिवर्तन कितना होगा ?

व्याख्या :
1 2 3 4

प्रश्न. एक घनाभ की लंबाई और चौड़ाई में क्रमशः 10% और 20% की वृद्धि की जाती है, जबकि इसकी ऊंचाई में 30% की कमी की जाती है। घनाभ के आयतन में कुल कितने प्रतिशत वृद्धि/कमी होनी चाहिए?

व्याख्या :
1 2 3

तीन या अधिक वर्षों के लिए क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन (Successive Percent Change for three or more years)

अगर विकास दर सतत है (Constant Growth Rate)

यदि किसी शहर की जनसंख्या P है, और इसे प्रति वर्ष r% की दर से बढ़ाया जाता है (अर्थात विकास दर साल-दर-साल स्थिर है), तो

(a) n वर्षों के बाद जनसंख्या, $P_n = P (1 + \frac{r}{100})^n$

(b) n वर्षों पहले की जनसंख्या, P = $\frac{P_n}{(1 + \frac{r}{100})^n}$

अगर विकास दर बदल रही है (Variable Growth Rate)

यदि किसी शहर की जनसंख्या P है, और पहले वर्ष में $r_1$, दूसरे वर्ष में $r_2$, और तीसरे वर्ष में $r_3$ की दर से बढ़ती है (अर्थात विकास दर हर साल भिन्न होती है), तो

(a) 3 वर्षों के बाद जनसंख्या, $P_3 = P (1 + \frac{r_1}{100}) (1 + \frac{r_2}{100}) (1 + \frac{r_3}{100})$

(b) 3 वर्षों पहले की जनसंख्या, P = $\frac{P_3}{(1 + \frac{r_1}{100}) (1 + \frac{r_2}{100}) (1 + \frac{r_3}{100})}$

यदि किसी मशीन का वर्तमान मूल्य P है, और उसकी मूल्यह्रास दर (depreciation rates) $r_1$, $r_2$, और $r_3$ वार्षिक है (अर्थात मूल्यह्रास कास दर हर साल भिन्न होती है), तो

(a) 3 साल बाद मशीन का मूल्य, $P_3 = P (1 - \frac{r_1}{100}) (1 - \frac{r_2}{100}) (1 - \frac{r_3}{100})$

(b) 3 साल पहले मशीन का मूल्य, P = $\frac{P_3}{(1 - \frac{r_1}{100}) (1 - \frac{r_2}{100}) (1 - \frac{r_3}{100})}$

प्रतिशत का प्रतिशत (Percent of a Percent)

y का x% = $\frac{x}{100}$ × y

y के x% का z% = $\frac{z}{100} × \frac{x}{100}$ × y

और इसी तरह आगे भी।

नोट

आप यह देख सकते हैं, कि जिस क्रम में हम इन प्रतिशतों को लागू करते हैं वह महत्वपूर्ण नहीं है:

y के x% का z% = $\frac{z}{100} × \frac{x}{100}$ × y

y के z% का x% = $\frac{x}{100} × \frac{z}{100}$ × y

तो, y के x% का z% = y के z% का x%

प्र. 90 के 50% का 20% क्या है?

व्याख्या :
1 2