Weighted Average क्या होता है? (What is Weighted Average?)

Overview

इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - What is Weighted Average?, in Hindi

Weighted Average मूल रूप से दो या दो से अधिक समूहों का औसत होता है।

यदि दो या दो से अधिक समूहों का औसत ज्ञात हो, तो इन सभी समूहों में सभी मदों का संयुक्त औसत ज्ञात करने के लिए हम Weighted Average विधि का उपयोग कर सकते हैं।

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• औसत क्या होता है?
• समान्तर श्रेढ़ी का औसत कैसे ज्ञात करें?
• मिश्रण और एलीगेशन की अवधारणा
• घोल के एक हिस्से को बदलना

Weighted Average कैसे ज्ञात करें? (How to find Weighted Average?)

फॉर्मूला विधि (Formula Method)

यदि n समूहों में :

औसत क्रमशः $A_1, A_2, A_3 ... A_n$ है, और
चीज़ों की संख्या क्रमशः $n_1, n_2, n_3 ... n_n$ है

Combined/Weighted Average = $\frac{A_1 n_1 + A_2 n_2 + ... + A_n n_n}{n_1 + n_2 + ... + n_n}$

नोट

यदि केवल 2 समूह हैं तो:
Combined/Weighted Average = $\frac{A_1 n_1 + A_2 n_2}{n_1 + n_2}$

आइए कुछ उदाहरण देखते हैं:

दसवीं कक्षा में - 3 ​​छात्र क्रमशः 20, 30 और 40 अंक के साथ हैं।
तो, कक्षा X के औसत अंक = 30 अंक

ग्यारहवीं कक्षा में – 2 छात्र क्रमशः 70 और 80 अंकों के साथ हैं।
अत: कक्षा XI के औसत अंक = 75 अंक

उनका Combined/Weighted Average = $\frac{A_1 n_1 + A_2 n_2}{n_1 + n_2} = \frac{30 × 3 + 75 × 2}{3 + 2} = \frac{240}{5}$ = 48 अंक

आइए, एक और सूत्र देखें:

यदि n चीज़ों का औसत A है, और उन n चीज़ों में से $n_1$ चीज़ों का औसत $A_1$ है, तो:

शेष चीज़ों का औसत = $\frac{nA − n_1 A_1}{n − n_1}$

डिविएशन्स की विधि (Method of deviations)

डिविएशन्स की विधि का उपयोग करके weighted average ज्ञात करना।

weighted average खोजने की गणना को और सरल बनाने के लिए हम डिविएशन्स की विधि का उपयोग कर सकते हैं, जिसका उपयोग हमने औसत की गणना के लिए किया था।

• चरण I: एक मनमाना weighted average संख्या चुनें।
  
• चरण II: इस मनमाने ढंग से चुनी गई संख्या से डिविएशन का पता लगाएं, और इन डिविएशन्स के weighted average की गणना करें।

हमारे उदाहरण में, तीन वर्गों के औसत अंक क्रमशः 50, 60 और 90 हैं।
आइए हम 65 को weighted average मान लें।
दिए गए तीन औसतों के 65 से डिविएशन्स हैं: -15, -5 और +25
इन डिविएशन्स का weighted average = [(-15) x 3 + (-5) x 2 + 25 x 4]/(3 + 2 + 4) = 45/9 = 5
अत: weighted average = 65 + 5 = 70

शॉर्ट-कट विधि (Short-Cut Method)

यह विधि केवल दो समूहों के मामले में लागू होती है।

हम दो समूहों के weighted average की गणना निम्नानुसार कर सकते हैं:

$A_1$ और $A_2$ ($A_2$ > $A_1$) के weighted average की गणना करने के लिए, जहाँ weights $w_1$ और $w_2$ हों:

• चरण I: अंतर ($A_2 – A_1$) को $w_1: w_2$ के अनुपात में विभाजित करें।

मान लीजिए, m = ($A_2 – A_1) × [\frac{w_2}{w_1 + w_2}]$ और

n = ($A_2 – A_1) × [\frac{w_1}{w_1 + w_2}]$

• चरण II: Weighted average = $A_1$ + m या $A_2$ – n

तो, Weighted Average = $A_1 + (A_2 – A_1) × [\frac{w_2}{w_1 + w_2}]$ या $A_2 – (A_2 – A_1) × [\frac{w_1}{w_1 + w_2}]$

उदाहरण के लिए, 2:3 के अनुपात में weights के साथ, 40 और 70 का weighted average ज्ञात करना

• चरण I: ($A_2 – A_1$) = 70 – 40 = 30
  

m = (3/5) × 30 = 18
n = (2/5) × 30 = 12

• चरण II: Weighted average = $A_1$ + m = 40 + 18 = 58 या $A_2$ – n = 70 – 12 = 58

प्र. यदि दो प्रकार के अनाज, जिनकी कीमत रु. 18 प्रति किलो और रु. 27 प्रति किलो है, उनको 2:1 के अनुपात में मिलाया जाता है, तो एक किलो मिश्रण का मूल्य ज्ञात कीजिए।

व्याख्या :
1 2

Weighted Averages से संबंधित अवधारणाएं (Concepts related to Weighted Averages)

अब, हम weighted average से संबंधित कुछ अवधारणाओं को समझते हैं।

अवधारणा 1: Weighted Average बनाम औसत का औसत (Weighted Average Vs. Average of Averages)

यदि हम दो या दो से अधिक समूहों का औसत ज्ञात करना चाहते हैं, तो क्या औसत का औसत लेना सही तरीका है?

दसवीं कक्षा में -3 ​​छात्र, क्रमशः 20, 30 और 40 अंक के साथ हैं।
ग्यारहवीं कक्षा में – 2 छात्र, क्रमशः 70 और 80 अंकों के साथ हैं।

दोनों कक्षाओं के छात्रों के अंकों का औसत = [20 + 30 + 40 + 70 + 80]/5 = 48 (सही)

यदि हम weighted average विधि का उपयोग करते हैं तो भी हमें वही उत्तर मिलेगा:
दोनों कक्षाओं के छात्रों के अंकों का औसत = [(30 × 3) + (75 × 2)]/(3 + 2) = 240/5 = 48 (सही)

आइए, अब हम औसतों का औसत लेकर दो कक्षाओं के सभी छात्रों के अंकों का औसत ज्ञात करने का प्रयास करें:
दोनों कक्षाओं के छात्रों के अंकों का औसत ≠ [30 + 75]/2 = 52.5 अंक (गलत)
इसलिए, औसत का औसत सही उत्तर नहीं होगा (ज्यादातर मामलों में)।

नोट

हमें "औसतों का औसत" पद्धति का उपयोग करके सही उत्तर तभी मिलेगा जब प्रत्येक समूह में लोगों/चीज़ों की संख्या समान हो। उदाहरण के लिए, यदि दोनों कक्षाओं में छात्रों की संख्या समान हो।

अवधारणा 2: Weighted Average पर प्रभाव (Influence on Weighted Average)

अधिक चीज़ों वाला समूह weighted average को अधिक प्रभावित करता है।

आइए इसे दो वर्गों के उसी उदाहरण का उपयोग करके समझते हैं, जो हमने ऊपर देखा था।

दोनों कक्षाओं के छात्रों के अंकों का औसत या दोनों कक्षाओं का weighted average = 48 अंक

दो समूहों के औसत के बीच का मध्य बिंदु या औसत का औसत = [30 + 75]/2 = 52.5 अंक

हम देख सकते हैं कि दो कक्षाओं के छात्रों का संयुक्त औसत अधिक छात्रों वाले समूह के औसत की ओर अधिक झुका हुआ है, अर्थात दसवीं कक्षा के औसत की तरफ।

weighted average

इस प्रकार, बड़े वर्ग ने दोनों वर्गों के औसत को अपने करीब खींच लिया, यानी उसका औसत पर अधिक प्रभाव (या वजन) था।

अवधारणा 3: दी गई वस्तुओं का अनुपात (Ratio of items given)

weighted average ज्ञात करना, यदि समूहों की चीज़ों की संख्या का अनुपात दिया गया हो।

यदि हम केवल दो समूहों के अलग-अलग औसत जानते हैं, तो हम उन वस्तुओं के संयुक्त समूह के weighted average का पता नहीं लगा सकते हैं। हमें यह भी पता होना चाहिए कि:

दो समूहों में चीज़ों की संख्या कितनी है, जैसे की कक्षा X में 3 छात्र और कक्षा XI में 2 छात्र।

या

दो समूहों में चीज़ों की संख्या का अनुपात, जैसे की 3:2. अनुपात जानना उतना ही अच्छा है, जितना कि दो समूहों में वस्तुओं की सटीक संख्या जानना, क्योंकि हम केवल इस बात में रुचि रखते हैं कि weighted average पर प्रत्येक औसत कितना सापेक्ष महत्व रखता है।

नोट

वास्तव में weighted average की गणना करना अधिक आसान होगा, यदि हम सूत्र में असल मानों (निरपेक्ष मानों, absolute values) के बजाय अनुपात का उपयोग करते हैं। इसलिए, भले ही निरपेक्ष मान दिए गए हों, हम उनके अनुपात का पता लगा सकते हैं और weighted average सूत्र में इसका उपयोग कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए:
तीन वर्गों के औसत अंक क्रमशः 50, 60 और 90 हैं, और उनके भार (यानि उनमें विद्यार्थियों की संख्या) 30, 20 और 40 हैं।
अत: विद्यार्थियों की संख्या का अनुपात = 30 : 20 : 40 = 3 : 2 : 4
सभी विद्यार्थियों के औसत अंक = [50 x 3 + 60 x 2 + 90 x 4]/(3 + 2 + 4) = 630/9 = 70

अवधारणा 4: भार की पहचान (Identifying weights)

जब हम weighted average ज्ञात करने का प्रयास कर रहे हों, तो औसत और भार (weight) के बीच की पहचान करना और अंतर करना महत्वपूर्ण होता है।

उदाहरण के लिए:
40 रुपये प्रति किलो के 5 किलो गेहूं को, 50 रुपये प्रति किलो के 9 किलो गेहूं के साथ मिलाया जाता है।

यहां, भार 5 और 9 हैं, न कि 40 और 60। अर्थार्थ, 5 और 9 वो भार (weight) हैं, जो weighted average को अपनी ओर खींचने का प्रयास करते हैं।