समय और कार्य की मूल अवधारणाएं (Basics of Time and Work)

Overview

इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Time and Work, in Hindi

इस लेख में हम समय और कार्य की मूल अवधारणाएं समझेंगे।

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित एक और विषय, पाइप और सिस्टर्न (Pipe and Cisterns) के बारे में जानने के लिए आप हमारा यह लेख पढ़ सकते हैं|

समय और कार्य में प्रयुक्त होने वाली पूर्वधारणाएं (Assumptions used in Time and Work)

कुछ बुनियादी पूर्वधारणाएं हैं, जो समय और कार्य की समस्याओं को हल करते समय इस्तेमाल की जाती हैं।

• किया जाने वाला कार्य आमतौर पर एक इकाई के रूप में माना जाता है।

• प्रत्येक व्यक्ति समान रूप से कार्य करता है, अर्थात, जब तक स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, तब तक किसी दिए गए व्यक्ति से प्रतिदिन समान मात्रा में कार्य करने की अपेक्षा की जाती है।

• एक टीम में लोग काम को समान रूप से साझा करते हैं।

TSD के साथ समानता (Similarity with Time, Speed, Distance chapter)

कार्य और समय पर आधारित समस्याएं समय, गति और दूरी की समस्याओं के समान ही होती हैं। अगर आपने TSD अध्याय नहीं पढ़ा है, तो आप उसे यहाँ पढ़ सकते हैं|

• कार्य करने की दर या दक्षता (Efficiency), गति के समान होती है|
• किए गए कार्य की मात्रा, तय की गई दूरी के समान होती है।
• किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय, एक दूरी तय करने में लगने वाले समय के समान होता है।

अत: किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय = कार्य की मात्रा या दक्षता (Amount of work or Efficiency)

(जैसे दूरी तय करने में लगा समय = दूरी या गति)

आइए अब दक्षता की अवधारणा को और अधिक विस्तार से समझने का प्रयास करें।

दक्षता की अवधारणा (Concept of Efficiency)

यदि कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या (अर्थात लिया गया समय) = x

तो व्यक्ति का 1 दिन का कार्य, यानी दक्षता (या कार्य-दर), n = 1/x

या, हम इसे इस तरह देख सकते हैं:

कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या, x = कुल कार्य / एक दिन में किया गया कार्य = कुल कार्य / दक्षता = 1/दक्षता = 1/n

नोट

सामान्य तौर पर हम काम की कुल मात्रा नहीं जानते हैं। इसलिए, हम मानते हैं कि कुल कार्य = 1 (हमेशा, जब तक कि अन्यथा निर्दिष्ट न हो)

हालांकि, बाद में हम सीखेंगे कि गणना में भिन्नों (fractions) से बचने के लिए, काम की कुल मात्रा को LCM के रूप में कैसे लिया जाए।

तो, दक्षता (या कार्य-दर) = 1 / लिया गया समय
या
कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या, अर्थात लगने वाला समय = 1/दक्षता

किसी भी तरह से :
लिया गया समय α 1 / दक्षता

नोट

जब दो या दो से अधिक व्यक्ति एक ही चीज़ पर काम करते हैं, तो उनकी दक्षता जोड़ दी जाती हैं (उनके द्वारा लिया गया समय नहीं)।

प्रश्न. A, B और C एक कार्य को क्रमशः 3, 4 और 5 दिनों में पूरा कर सकते हैं। उन्होंने साथ मिलकर एक काम पूरा किया और उसके ऐवज़ में 470 रुपये प्राप्त किए। B का हिस्सा क्या होना चाहिए ?

व्याख्या:

समय – कार्य तुल्यता (Time – Work Equivalence)

किया गया कार्य = पुरुषों की संख्या × दिनों की संख्या × प्रति दिन घंटों की संख्या

या, W = M × D × H

यदि $M_1$ व्यक्ति $D_1$ दिनों में $H_1$ घंटे के लिए $W_1$ काम कर सकते हैं, और $M_2$ व्यक्ति $H_2$ घंटों के लिए $D_2$ दिनों में $W_2$ कार्य कर सकते हैं, तो:
$\frac{M_1 D_1 H_1}{W_1} = \frac{M_2 D_2 H_2}{W_2}$

मानव-दिन की अवधारणा (Concept of man-days)

मानव-दिन (Man-days): पुरुषों की संख्या को, कार्य को पूरा करने में लगने वाले दिनों की संख्या से गुणा किया जाता है।

एक विशिष्ट कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक मानव-दिनों की कुल संख्या एक स्थिरांक (constant) है। अर्थात्, दो चरों, पुरुषों और दिनों का गुणनफल एक अचर है।

इसलिए, जब काम समान रहे, तो पुरुषों की संख्या और दिनों की संख्या एक दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती (inversely proportional) होगी।

संयुक्त कार्य (Combined Work)

कभी-कभी, हमें ऐसे प्रश्न दिए जाते हैं जिनमें एक से अधिक लोग किसी कार्य को कर रहे होते हैं। आइए ऐसे विभिन्न मामलों को देखें।

केस 1: व्यक्तिगत दक्षता या अलग-अलग लिया गया समय दिया गया हो (Individual Efficiency or Time-taken given separately)

केस 1a: जब दो लोग एक साथ काम कर रहे हों (Two people working together)

यदि A किसी कार्य को x दिनों में कर सकता है, और B उसी कार्य को y दिनों में कर सकता है, तो

A का एक दिन का कार्य (अर्थात A की दक्षता) = 1/x और
B का एक दिन का कार्य (अर्थात B की दक्षता) = 1/y

(A + B) का एक दिन का काम, यानी A और B की संयुक्त दक्षता = 1/x + 1/y = (x + y)/xy

नोट

हम दक्षता जोड़ सकते हैं, लेकिन लिया गया समय नहीं।

अब, लगने वाला समय α 1/दक्षता

अत: यदि A और B एक साथ कार्य करते हैं तो कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या = xy/(x + y) दिन

प्र. यदि मृगांक और आन्या किसी कार्य को 8 और 12 दिनों में स्वतंत्र रूप से कर सकते हैं, तो वे एक साथ कार्य करते हुए उसी कार्य को कितने दिनों में पूरा करेंगे?

व्याख्या :
1 2

व्याख्या 2: LCM विधि

मान लीजिए कि कुल कार्य अलग-अलग लिए गए दिनों का LCM है, यानी 8 और 12 का LCM, अर्थार्थ 24 इकाइयाँ।

अतः मृगांक द्वारा प्रतिदिन किया गया कार्य, अर्थात मृगांक की दक्षता = 24/8 = 3 इकाइयाँ प्रति दिन
और, आन्या द्वारा प्रति दिन किया गया कार्य, अर्थात आन्या की क्षमता = 24/12 = 2 इकाइयाँ प्रति दिन

एक साथ काम करने पर उनकी संयुक्त दक्षता = 3 + 2 = 5 इकाइयाँ प्रति दिन
(दक्षता जोड़ी जा सकती हैं)

अत: उनके द्वारा एक साथ कार्य करने में लिया गया समय = कुल कार्य / संयुक्त दक्षता = 24/5 = 4.8 दिन

नोट

LCM पद्धति का उपयोग करने से हमें अपनी गणना में भिन्नों (fractions) से बचने में मदद मिलती है।

केस 1b: जब तीन लोग एक साथ काम कर रहे हों (Three people working together)

यदि (A + B) किसी कार्य को x दिनों में कर सकते है, और C उसी कार्य को y दिनों में कर सकता है, तो

(A + B) का एक दिन का काम (यानी A + B की दक्षता) = 1/x और
C का एक दिन का कार्य (अर्थात C की दक्षता) = 1/y

तो, (A + B + C) का एक दिन का काम, यानी A, B और C की संयुक्त दक्षता = 1/x + 1/y = (x + y)/xy

अब, लगने वाला समय α 1 / दक्षता

यदि (A + B + C) एक साथ काम करते हैं, तो काम पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या = xy/(x + y) दिन

केस 1c: जब तीन लोग एक साथ काम कर रहे हों (Three people working together)

यदि 'A', 'B' और 'C' क्रमशः x, y और z दिनों में कार्य पूरा कर सकते हैं, तो

(A + B + C) का 1 दिन का काम, यानी उनकी संयुक्त दक्षता = 1/x + 1/y + 1/z = (xy + yz + xz)/xyz

अब, लगने वाला समय α 1/दक्षता

अत: यदि A, B और C एक साथ कार्य करते हैं, तो कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या = xyz/ (xy + yz + xz) दिन

केस 2: यदि संयुक्त दक्षता या संयुक्त समय दिया गया है (If Combined Efficiency or Combined Time-taken given)

केस 2a: जब दो लोग एक साथ काम कर रहे हों (Two people working together)

यदि A किसी कार्य को x दिनों में कर सकता है, और A + B उसी कार्य को y दिनों में कर सकते हैं, तो

A का एक दिन का कार्य, अर्थात A की दक्षता = 1/x

(A + B) का एक दिन का कार्य, अर्थात (A + B) की दक्षता = 1/y

तो, B का एक दिन का कार्य, अर्थात B की दक्षता = 1/y – 1/x = (x - y)/xy

यदि B अकेले कार्य करता है, तो कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या = xy/(x - y) दिन

केस 2b: जब तीन लोग एक साथ काम कर रहे हों (Three people working together)

यदि A और B मिलकर किसी काम को 'x' दिनों में करते हैं, B और C मिलकर इसे 'y' दिनों में करते हैं, और C और A मिलकर इसे 'z' दिनों में करते हैं, तो

(A + B) का एक दिन का कार्य, या दक्षता = 1/x
(B + C) का एक दिन का काम, या दक्षता = 1/y
(C + A) का एक दिन का काम, या दक्षता = 1/z

उपरोक्त तीनों को मिलाने पर :
2(A + B + C) का 1 एक दिन का कार्य = 1/x + 1/y + 1/z = (xy + yz + xz) / xyz
या (A + B + C) का 1 एक दिन का कार्य, अर्थात् उनकी संयुक्त दक्षता = (xy + yz + xz) / 2xyz

अब, लगने वाला समय α 1/दक्षता

अत: यदि A, B और C एक साथ कार्य करते हैं, तो कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या = 2xyz/ (xy + yz + xz) दिन

केस 2c: जब तीन लोग एक साथ काम कर रहे हों (Three people working together)

A और B मिलकर किसी काम को 'x' दिनों में करते हैं, B और C मिलकर इसे 'y' दिनों में करते हैं और C और A मिलकर इसे 'z' दिनों में करते हैं।

तब, हम जानते हैं कि (A + B + C) का 1 एक दिन का कार्य, अर्थात् उनकी संयुक्त दक्षता = (xy + yz + xz) / 2xyz

और (B + C) का एक दिन का काम = 1/y

तो, A का एक दिन का कार्य = (A + B + C) – (B + C) = (xy + yz + xz)/2xyz – 1/y = (xy + yz + xz – 2xz)/2xyz = (xy + yz - xz)/2xyz

अत: अकेले A द्वारा कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या = 2xyz/(xy + yz - xz)

इसी प्रकार, यदि B अकेले कार्य करता है, तो आवश्यक समय = 2xyz/(-xy + yz + xz)

इसी प्रकार, यदि C अकेले कार्य करता है, तो आवश्यक समय = 2xyz/(xy - yz + xz)

केस 3

यदि A अकेले कार्य करते हुए, A और B के साथ मिलकर लिए गए दिनों से x दिन अधिक लेता है| और B अकेले कार्य करते हुए, A और B के साथ मिलकर लिए गए दिनों से y दिन अधिक लेता है, तो

कार्य को पूरा करने के लिए, A और B द्वारा साथ में लिए गए दिनों की संख्या = √(xy)

केस 4: अगर B, A से m गुना अच्छा काम करने वाला है (B is m times as good a workman as A)

केस 4a

यदि A किसी कार्य को 't' दिनों में पूरा कर सकता है, और B, A से 'm' गुना कुशल है, तो

A और B द्वारा समान समय में किए गए कार्य का अनुपात = 1 : m और
A और B द्वारा कार्य को पूरा करने में लिए गए समय का अनुपात = m : 1. इसका अर्थ यह है कि 'B' कार्य की समान मात्रा को पूरा करने में 'A' के समय का (1/mth) लेता है।

अत: A और B की संयुक्त दक्षता = 1/t + m/t = (1 + m)/t
और कार्य को पूरा करने के लिए A और B दोनों द्वारा एक साथ कार्य करने में लिया गया समय = t/(1 + m)

केस 4b

यदि A और B एक साथ कार्य करते हुए किसी कार्य को 't' दिनों में पूरा कर सकते हैं, और B, A से 'm' गुना अधिक कुशल है, तो

A द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिया गया समय = (m + 1) × t दिन

अकेले B द्वारा कार्य को पूरा करने में लिया गया समय = [(m + 1) / m] × t दिन