समलंब चतुर्भुज और उसके गुण (Trapezium and its properties)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Trapezium and its properties, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• ज्यामिति क्या होती है?
• ज्यामिति में रेखाएं और कोण
• ज्यामिति में त्रिभुज
• त्रिभुज से संबंधित महत्वपूर्ण रेखाएं और बिंदु
• त्रिभुज से सम्बंधित महत्वपूर्ण प्रमेय और नियम
• समरूपता प्रमेय और उनके अनुप्रयोग
• त्रिभुजों की सर्वांगसमता और समरूपता क्या होती हैं?
• त्रिभुज के क्षेत्रफल से सम्बंधित सूत्र और गुण
• चतुर्भुज और उसके गुण
• चतुर्भुज के क्षेत्रफल से सम्बंधित सूत्र और गुण
• समांतर चतुर्भुज और उसके गुण
• समलंब चतुर्भुज और उसके गुण
• बहुभुज और उसके गुण
• वृत्त और उसके गुण
• वृत्त प्रमेय

इस लेख में हम समलंब चतुर्भुज और उसके गुणों के बारे में अध्ययन करेंगे।

समलंब चतुर्भुज क्या होता है? (What is a Trapezium?))

समलंब चतुर्भुज (Trapezium) एक चतुर्भुज होता है, जिसकी दो भुजाएं समानांतर होती हैं।

Geometry

उपरोक्त आकृति में, AB ∥ CD

नोट

समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज (Isosceles trapezium) - एक समलंब चतुर्भुज जिसकी गैर-समानांतर भुजाएँ बराबर होती हैं।
अर्थात्, AB ∥ CD और BC = AD

कोई भी समांतर चतुर्भुज (parallelogram) एक समलम्ब चतुर्भुज (trapezium) ही होता है। हालांकि, यह जरूरी नहीं कि इसके विपरीत भी सत्य हो| अर्थात यह जरूरी नहीं कि कोई समलम्ब चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज हो - क्योंकि समलम्ब चतुर्भुज में विपरीत भुजाओं का केवल एक जोड़ा समानांतर होता है, पर समांतर चतुर्भुज में दोनों जोड़ों को समानांतर होने की आवश्यकता होती है।

समलम्ब चतुर्भुज के गुण (Properties of Trapezium)

ये वे गुण हैं जो किसी भी प्रकार के समलंब चतुर्भुज के लिए सही हैं।

गुण 1: कोण (Angles)

दोनों गैर-समानांतर भुजाओं के साथ वाले क्रमागत कोण (Consecutive angles) संपूरक (supplementary) होते हैं, अर्थात उनका योग 180° के बराबर होता है।

Geometry

अर्थात्, यदि AB ∥ CD है तो:
∠A + ∠D = 180°, और
∠B + ∠C = 180°

नोट

हमने रेखाओं और कोणों के लेख में अध्ययन किया था, कि:
तिर्यक रेखा (transversal line) के एक ही तरफ के अंतः कोणों (या बहिष्कोणों) का योग संपूरक (supplementary) होता है।

Geometry

नोट

समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज (Isosceles trapeziums) के मामले में, प्रत्येक समानांतर भुजाओं के साथ वाले क्रमागत कोण (consecutive angles) भी बराबर होते हैं।

Geometry

अर्थात्, यदि AB ∥ CD और BC = AD, तो:
∠A = ∠B, और
∠C = ∠D

गुण 2: विकर्ण (Diagonals)

समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समानुपाती (proportionally) रूप से प्रतिच्छेद करते हैं।

Geometry

$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$

नोट

दूसरे शब्दों में, यदि किसी चतुर्भुज (quadrilateral) के विकर्ण एक-दूसरे को समानुपाती रूप से विभाजित करते हैं, तो वह एक समलंब चतुर्भुज होना चाहिए।

नोट

समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज (Isosceles trapeziums) के मामले में, विकर्ण भी बराबर होते हैं।

Geometry

अर्थात्, यदि AB ∥ CD और BC = AD, तो:
AC = BD

गुण 3: समांतर भुजाओं के समांतर एक रेखा (A line parallel to the parallel sides)

समलम्ब चतुर्भुज की समानांतर भुजाओं के समानांतर कोई भी रेखा गैर-समानांतर भुजाओं को आनुपातिक रूप से विभाजित करती है।

Geometry

उपरोक्त आकृति में, यदि AB ∥ PQ ∥ DC तो,
$\frac{AP}{PD} = \frac{BQ}{QC}$

नोट

यह Thales प्रमेय (या Basic proportionality प्रमेय) का एक अनुप्रयोग है, जिसे हमने त्रिभुज वाले लेख में पढ़ा था।

Mid-point Theorem: एक विशेष मामला

यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज की समांतर भुजाओं के समांतर रेखा, गैर-समानांतर भुजाओं के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरती है, तो इसकी लंबाई समानांतर भुजाओं के योग के आधे के बराबर होगी।

Geometry

उपरोक्त आकृति में, यदि $\frac{AP}{PD} = \frac{BQ}{QC}$ = 1, यानी AP = PD और BQ = QC, तो:
PQ = $\frac{AB + DC}{2}$