कई संख्याओं के शेष (Remainders of a set of multiple numbers)
Overview
इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Remainders of a set of multiple numbers, in Hindi
नोटइस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:
कभी-कभी हमें एक शेषफल (remainder) दिया जाता है जो प्राप्त होता है:
- विभिन्न संख्याओं के समुच्चय को एक ही भाजक (divisor) से विभाजित करने पर।
- एक ही संख्या को विभिन्न भाजक (divisors) से विभाजित करने पर।
आइए, देखें कुछ ऐसे ही मामले और उनसे कैसे निबटा जाए।
केस 1: सामान्य शेष - लाभांश समान है, भाजक भिन्न हैं (Common remainder - dividend is same, divisors vary)
आइए हम उस मामले पर विचार करें जहां विभाजित होने वाली संख्या समान है, लेकिन भाजक (divisors) भिन्न हैं।
यदि हमें वही शेषफल r प्राप्त होता है, जब एक संख्या को विभिन्न भाजक (जैसे x, y या z) से विभाजित किया जाता है, तो:
संख्या इस रूप की है:
k (x, y और z का LCM) + r
(जहाँ k कोई पूर्ण संख्या, whole number है)
जब k = 0 होता है, तो संख्या ही शेषफल होती है (और भाजक से कम होती है)। यह ऐसी संख्या का न्यूनतम संभव मान होगा।
प्रश्न. दो अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसे 6 या 9 से भाग देने पर शेषफल 3 बचता है?
व्याख्या:
संख्या इस रूप की होगी: k (6 और 9 का LCM) + 3 = 18k + 3
अगर k = 0; 18k + 3 = 3
अगर k = 1; 18k + 3 = 21
अगर k = 2; 18k + 3 = 39
अगर k = 3; 18k + 3 = 57
अगर k = 4; 18k + 3 = 75
अगर k = 5; 18k + 3 = 93
अगर k = 6; 18k + 3 = 111
अतः अभीष्ट दो अंकों की संख्या = 93
प्र. किसी संख्या को 4, 5, 6 और 7 से विभाजित करने पर 3 शेष बचता है, लेकिन 9 से विभाजित करने पर कोई शेष नहीं बचता है। ऐसी सबसे छोटी संभव संख्या के अंकों का योग क्या है?
(a) 12 (b) 9 (c) 6 (d) 15व्याख्या:
आवश्यक संख्या 4, 5, 6, और 7 से विभाजित करने पर शेष 3 छोड़ती है।
अतः, संख्या इस रूप की होगी = k (4, 5, 6 और 7 का LCM) + 3, जहां k कोई पूर्णांक है।
(4, 5, 6 और 7) का LCM = 420
अत: अभीष्ट संख्या = 420k + 3
हम जानते हैं कि यह संख्या 9 से विभाज्य है। चूँकि हमें न्यूनतम संभव संख्या की आवश्यकता है, इसलिए हमें k का न्यूनतम मान ज्ञात करना चाहिए।
अब k = 1 के लिए अभीष्ट संख्या = 423 है, जो 9 से विभाज्य है। इसलिए, यह अभीष्ट संख्या है।
इसके अंकों का योग = 4 + 2 + 3 = 9
उत्तर: (b)
केस 2: सामान्य नकारात्मक शेष - लाभांश समान है, भाजक अलग-अलग हैं (Common Negative Remainder - dividend is same, divisors vary)
यहाँ फिर से, विभाजित होने वाली संख्या समान है, लेकिन भाजक भिन्न हैं।
यदि किसी संख्या को विभिन्न भाजक (जैसे x, y या z) से विभाजित करने पर हमें समान ऋणात्मक शेषफल -r प्राप्त होता है, तो:
संख्या इस रूप की है:
k (x, y और z का LCM) - r
(जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है)
जब k = 1 होता है, तो हमें ऐसी संख्या का न्यूनतम संभव मान प्राप्त होता है।
प्रश्न. दो अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसे क्रमश: 6 और 9 से भाग देने पर 3 और 6 शेष बचता है?
व्याख्या:
ऋणात्मक शेष = भाजक - धनात्मक शेष = 6 - 3 (या 9 - 6) = 3
संख्या इस रूप की होगी: k (6 और 9 का LCM) - 3 = 18k - 3
अगर k = 1; 18k - 3 = 15
अगर k = 2; 18k - 3 = 33
अगर k = 3; 18k - 3 = 51
अगर k = 4; 18k - 3 = 69
अगर k = 5; 18k - 3 = 87
अगर k = 6; 18k - 3 = 105
अतः अभीष्ट दो अंकों की संख्या = 87
केस 3: अलग-अलग शेष - लाभांश समान है, भाजक अलग-अलग हैं (Different remainders - dividend is same, divisors vary)
आइए उन मामलों को देखें जहां भाजक, साथ ही शेष (सकारात्मक या नकारात्मक) भिन्न हैं, लेकिन विभाजित होने वाली संख्या समान है।
प्रश्न. सबसे छोटी एकल अंक और दो अंकों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिसे क्रमशः 5 और 9 से विभाजित करने पर 3 और 8 शेष बचता है।
व्याख्या:
मान लीजिए कि संख्या 'N' है।
शेष (N/5) = 3 और शेष (N/9) = 8
इसलिए, हम संख्या को N = 5q + 3 या N = 9p + 8 के रूप में लिख सकते हैं
(जहाँ 'q' और 'p' भागफल (quotients) और पूर्ण संख्याएँ हैं)।
तो, 5q + 3 = 9p + 8
या 5q = 9p + 5
समीकरण का LHS (अर्थात 5q) 'q' के किसी भी प्राकृत संख्या मान के लिए 5 का गुणज है। तो, RHS भी 5 का गुणज होना चाहिए।
जब p = 0, 9p + 5 = 5, जो कि 5 का गुणज है (यह उपरोक्त शर्त को पूरा करता है।)
अतः, अभीष्ट सबसे छोटी एकल अंक की संख्या, N = 9p + 8 = (9 × 0) + 8 = 8
जब p = 5, 9p + 5 = 50, जो कि 5 का गुणज है (यह उपरोक्त शर्त को पूरा करता है।)
तो, आवश्यक सबसे छोटी दो अंकों की संख्या, N = 9p + 8 = (9 × 5) + 8 = 53
केस 4: सामान्य शेषफल - लाभांश भिन्न है, भाजक समान है (Common remainder - dividends vary, divisor is same)
इस मामले में, विभाजित की जाने वाली संख्याएँ अलग-अलग होंगी, लेकिन भाजक वही होगा।
यदि विभिन्न संख्याओं (जैसे x, y या z) को एक ही भाजक से विभाजित करने पर हमें वही शेषफल r प्राप्त होता है, तो:
सबसे बड़ा संभावित भाजक = HCF [(x - y) (y - z) (z - x)] या HCF [(x - y) (y - z)]
प्र. 43, 78 और 92 को विभाजित करने वाला सबसे बड़ा भाजक ज्ञात कीजिए, जिससे प्रत्येक भाग में समान शेष बचे।
व्याख्या:
आवश्यक भाजक (divisor) = HCF [92 − 78, 78 − 43] = HCF [14, 35] = 7
हम जाँच सकते हैं, कि शेष [] = शेष [] = शेष [] = 1
केस 5: विभिन्न शेषफल - लाभांश भिन्न है, भाजक समान है (Different remainders - dividends vary, divisor is same)
यहाँ फिर से, विभाजित होने वाली संख्याएँ अलग-अलग होंगी, लेकिन भाजक वही होगा।
यदि अलग-अलग संख्याओं (मान लीजिए x, y या z) को एक ही भाजक से विभाजित करने पर शेषफल (जैसे a, b और c) प्राप्त होते हैं, तो:
सबसे बड़ा संभव भाजक = HCF [(x - a) (y - b) (z - c)]
प्रश्न. सबसे बड़ा भाजक ज्ञात कीजिए जो 43, 78 और 99 को विभाजित करने पर, क्रमशः 5, 2 और 4 शेषफल छोड़ता है।
व्याख्या:
आवश्यक भाजक (divisor) = HCF [43 − 5, 78 − 2, 99 - 4] = HCF [38, 76, 95] = 19
हम जाँच सकते हैं कि शेष [] = 5
शेष [] = 2
शेष [] = 4