बीजगणित क्या होता है? (What is Algebra?)

Jan 2, 2022 algebra
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बीजगणित क्या होता है? (What is Algebra?)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - What is Algebra?, in Hindi

बीजगणित गणित का एक ऐसा हिस्सा है जहां हम समीकरण/सूत्र/असमानता (equation/formula/inequality) में संख्याओं को निरूपित करने के लिए अक्षरों/प्रतीकों का उपयोग करते हैं, और फिर कुछ नियमों का उपयोग करके उनमें हेरफेर करते हैं।

सममित और असममित व्यंजक (Symmetrical and Unsymmetrical expression)
  • असममित व्यंजक (Unsymmetrical expression): यह एक ऐसा व्यंजक है जिसमें सभी चरों (जैसे a, b, c ...) का भार समान नहीं होता है।

उदाहरण के लिए, a+b+c2,a2+b2−c2,a3+b3+c2a + b + c^2, a^2 + b^2 - c^2, a^3 + b^3 + c^2 आदि

  • सममित व्यंजक (Symmetrical expression): यह एक ऐसा व्यंजक है जिसमें सभी चरों (variables) का भार बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, a + b + c, 3a + 3b + 3c, a2+b2+c2,a3+b3+c3a^2 + b^2 + c^2, a^3 + b^3 + c^3, ab + bc + ca आदि।

इसलिए, किसी सममित व्यंजक में हम चरों की स्थिति को आपस में बदल सकते हैं।

अब, आइए कुछ बुनियादी सूत्रों पर एक नजर डालते हैं जिनका उपयोग हम इस अध्याय में करने जा रहे हैं।

(x+y)2=x2+y2+2xy=(x–y)2+4xy(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = (x – y)^2 + 4xy
(x–y)2=x2+y2–2xy=(x+y)2−4xy(x – y)^2 = x^2 + y^2 – 2xy = (x + y)^2 - 4xy

x2–y2=(x+y)(x–y)x^2 – y^2 = (x + y)(x – y)
x2+y2=(x+y)2–2xy=(x–y)2+2xyx^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy = (x – y)^2 + 2xy

(x+y)2+(x–y)2=2(x2+y2)(x + y)^2 + (x – y)^2 = 2(x^2 + y^2)
(x+y)2–(x–y)2=4xy(x + y)^2 – (x – y)^2 = 4xy

(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)(x +y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)
(x–y+z)2=x2+y2+z2+2(–xy–yz+zx)(x – y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(–xy – yz + zx)
(x−y–z)2=x2+y2+z2+2(−xy+yz–zx)(x - y – z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(-xy + yz – zx)

यदि (x–a)2+(y–b)2+(z–c)2(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = 0, तो x – a = 0, y – b = 0 & z – c = 0
यानी, अगर A2+B2+C2A^2 + B^2 + C^2 = 0, तो A = B = C = 0

A2+B2+C2–AB–BC–CAA^2 + B^2 + C^2 – AB – BC – CA = 0, तो A = B = C

(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)(x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy (x + y)
(x–y)3=x3–y3–3xy(x–y)(x – y)^3 = x^3 – y^3 – 3xy(x – y)

(x+y)3+(x–y)3=2x(x2+3y2)(x + y)^3 + (x – y)^3 = 2x(x^2 + 3y^2)
(x+y)3–(x–y)3=2y(3x2+y2)(x + y)^3 – (x – y)^3 = 2y(3x^2 + y^2)

x3+y3=(x+y)(x2+y2–xy)=(x+y)3–3xy(x+y)x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 + y^2 – xy) = (x + y)^3 – 3xy (x + y)
x3–y3=(x–y)(x2+y2+xy)=(x–y)3+3xy(x–y)x^3 – y^3 = (x – y) (x^2 + y^2 + xy) = (x – y)^3 + 3xy (x – y)

नोट

xn–yn=(x–y)(xn−1+xn−2.y+xn−3.y2+...+yn−1)x^n – y^n = (x – y) (x^{n - 1} + x^{n - 2}.y + x^{n - 3}.y^2 + ... + y^{n - 1})

(x+y+z)3=x3+y3+z3+3(x+y)(y+z)(z+x)(x + y + z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3(x + y) (y + z) (z + x)

x3+y3+z3–3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2–xy–yz–zx)x^3 + y^3 + z^3 – 3 xyz = (x + y + z) (x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz – zx)
= (x+y+z)×12[(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2](x + y + z) × \frac{1}{2} [(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2]

नोट

जब x + y + z = 0, तो x3+y3+z3=3xyzx^3 + y^3 + z^3 = 3xyz

प्रकार 1: x+1xx + \frac{1}{x}

यदि x+1xx + \frac{1}{x} = a, तो:

  • x−1x=a2−4x - \frac{1}{x} = \sqrt{a^2 - 4}

  • x2+1x2=a2−2x^2 + \frac{1}{x^2} = a^2 - 2

  • x3+1x3=a3−3ax^3 + \frac{1}{x^3} = a^3 - 3a

नोट

यदि x+1xx + \frac{1}{x} = 1, तो x3x^3 = –1.
यदि x+1xx + \frac{1}{x} = -1, तो x3x^3 = 1

यदि x+1xx + \frac{1}{x} = 2, तो x = 1
यदि x+1xx + \frac{1}{x} = -2, तो x = – 1

यदि x+1x=3x + \frac{1}{x} = \sqrt{3}, तो x6x^6 = –1

प्रकार 2: x−1xx - \frac{1}{x}

यदि x−1xx - \frac{1}{x} = a, तो:

  • x+1x=a2+4x + \frac{1}{x} = \sqrt{a^2 + 4}

  • x2+1x2=a2+2x^2 + \frac{1}{x^2} = a^2 + 2

  • x3−1x3=a3+3ax^3 - \frac{1}{x^3} = a^3 + 3a

प्रकार 3: x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2}

यदि x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} = a, तो:

  • x+1x=a+2x + \frac{1}{x} = \sqrt{a + 2}

  • x−1x=a−2x - \frac{1}{x} = \sqrt{a - 2}

यदि x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} = 1, तो:

  • x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3} = 0 and x6x^6 = –1

x4+1x4=(x2+1x2)2−2=[(x−1x)2+2]2−2x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2 = [(x - \frac{1}{x})^2 + 2]^2 - 2

x6+1x6=(x3+1x3)2−2=(x2+1x2)3−3(x2+1x2)x^6 + \frac{1}{x^6} = (x^3 + \frac{1}{x^3})^2 - 2 = (x^2 + \frac{1}{x^2})^3 - 3(x^2 + \frac{1}{x^2})

x5+1x5=(x2+1x2)(x3+1x3)−(x+1x)x^5 + \frac{1}{x^5} = (x^2 + \frac{1}{x^2}) (x^3 + \frac{1}{x^3}) - (x + \frac{1}{x})

x7+1x7=(x4+1x4)(x3+1x3)−(x+1x)x^7 + \frac{1}{x^7} = (x^4 + \frac{1}{x^4}) (x^3 + \frac{1}{x^3}) - (x + \frac{1}{x})

x5−1x5=(x2+1x2)(x3−1x3)−(x−1x)x^5 - \frac{1}{x^5} = (x^2 + \frac{1}{x^2}) (x^3 - \frac{1}{x^3}) - (x - \frac{1}{x})

x7−1x7=(x4+1x4)(x3−1x3)+(x−1x)x^7 - \frac{1}{x^7} = (x^4 + \frac{1}{x^4}) (x^3 - \frac{1}{x^3}) + (x - \frac{1}{x})

x (y + z) = xy + xz

यदि ab=xy\frac{a}{b} = \frac{x}{y}, तो a+ba−b=x+yx−y\frac{a + b}{a - b} = \frac{x + y}{x - y}

यदि x+yx−y\frac{x + y}{x - y} = z, तो , xy=z+1z−1\frac{x}{y} = \frac{z + 1}{z - 1}