डिफरेंशियल कैलकुलस के नियम (Differential Calculus Rules)

Jan 15, 2022 calculus
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डिफरेंशियल कैलकुलस के नियम (Differential Calculus Rules)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Differential Calculus Rules, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

हम पहले ही समझ चुके हैं कि हम कुछ सरल फलनों के derivatives (अवकलजों) की गणना कैसे करते हैं। हालाँकि, परीक्षा में जिन अधिकांश प्रश्नों का हम सामना करेंगे, उनमें शायद चीजें इतनी सरल नहीं होंगी।

कई बार हमें जटिल फलनों के derivatives (अवकलजों) की गणना करनी पड़ती है, जो विभिन्न तरीकों से सरल फलनों को मिलाकर बनाए जाते हैं।

उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि:

ddxsinx=cosx\frac{d}{dx} sin x = cos x

ddxcosx=−sinx\frac{d}{dx} cos x = - sin x

हालांकि, ddxsinxcosx≠cosx(−sinx)\frac{d}{dx} sin x \hspace{1ex} cos x ≠ cos x (- sin x)

ऐसे जटिल व्यंजकों के derivatives ज्ञात करने के लिए हमें Differential Calculus (अवकलन) के कुछ नियमों का पालन करना होगा। आइए, जानते हैं ऐसे ही कुछ नियमों के बारे में।

हम फलन f(x) और g(x) को f और g के रूप में निरूपित करेंगे। और उनके derivative f'(x) और g'(x) को f' और g' के रूप में।

ddxcf=cf′\frac{d}{dx} c f = c f'

प्र. ddx5x2\frac{d}{dx} 5x^2 क्या होगा

व्याख्या:

ddx5x2=5ddxx2\frac{d}{dx} 5x^2 = 5 \frac{d}{dx} x^2 = 5 (2x) = 10x


ddx[f+g]=f′+g′\frac{d}{dx} [f + g] = f' + g'

ddx[f−g]=f′−g′\frac{d}{dx} [f - g] = f' - g'

प्र. ddx(x2+sinx)\frac{d}{dx} (x^2 + sin x) क्या होगा

व्याख्या:

ddx(x2+sinx)=ddxx2+ddxsinx\frac{d}{dx} (x^2 + sin x) = \frac{d}{dx} x^2 + \frac{d}{dx} sin x = 2x + cos x


ddx[f.g]=f′.g+f.g′\frac{d}{dx} [f . g] = f' . g + f . g'

ddx[f/g]=f′.g−f.g′g2\frac{d}{dx} [f / g] = \frac{f' . g - f . g'}{g^2}

विशेष मामला:

ddx[1/f]=−f′f2\frac{d}{dx} [1 / f] = \frac{- f'}{f^2}

प्र. ddxxsinx\frac{d}{dx} x sin x क्या होगा

व्याख्या:

ddxxsinx=xddxsinx+sinxddxx\frac{d}{dx} x sin x = x \frac{d}{dx} sin x + sin x \frac{d}{dx} x = x cos x + sin x


ddxfºg=(f′ºg).g′\frac{d}{dx} fºg = (f'ºg) . g'
या ddxf(g)=f′(g).g′\frac{d}{dx} f(g) = f'(g) . g'

नोट

उपरोक्त को हम निम्न प्रकार से भी निरूपित कर सकते हैं।

dydx=dydu.dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} . \frac{du}{dx}

प्र. ddxsinx3\frac{d}{dx} sin x^3 क्या होगा

व्याख्या:

यहाँ, g = x3x^3, और इसलिए f(g) = sin g

तो, f'(g) = cos g = cos x3x^3
g' = ddxg=ddxx3=3x2\frac{d}{dx} g = \frac{d}{dx} x^3 = 3x^2

ddxsinx3=f′(g).g′=3x2.cosx3\frac{d}{dx} sin x^3 = f'(g) . g' = 3x^2 . cos x^3