पासे (Dice)
Overview
इस लेख में हम रीजनिंग के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Dices, in Hindi
मूल अवधारणा
पांसे घन (क्यूबिकल) या घनाभ (क्यूबॉइडल) आकार की वस्तुएं होती हैं जिनमें संख्याएं / आंकड़े / प्रतीक उनकी छह सतहों पर छपे (एम्बेडेड) होते हैं।
dices
एक पासे में 6 फलक, 8 कोने और 12 किनारे होते हैं।पांसे के प्रकार
सतह पर 1 से 6 तक अंक/बिंदु वाले पासों को दो प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है:
मानक पासा - जब विपरीत फलकों पर अंकों/बिंदुओं का योग 7 के बराबर हो, तो पासे को मानक पासा कहा जाता है।
यानी विपरीत चेहरों का योग: 1 + 6 = 7, 2 + 5 = 7, 3 + 4 = 7सामान्य/अमानक पासा - जब दो या तीनों विपरीत फलकों पर अंकों/बिंदुओं का योग 7 के बराबर नहीं होता है, तो पासे को सामान्य पासा कहा जाता है।
दूसरे शब्दों में, एक पासा जो मानक पासा नहीं है, वह एक सामान्य पासा कहलाता है।
नोटयदि विपरीत/सम्मुख फलकों के दो युग्मों का योग 7 है, तो सम्मुख फलकों के तीसरे जोड़े का योग निश्चित रूप से 7 होगा।
पासे को मानक या सामान्य पासे के रूप में पहचानना
यदि हम किसी भी कोण से कोई पासा देखते हैं, तो हम उसके अधिकतम केवल तीन फलक देख सकते हैं: सामने की सतह, ऊपरी सतह और दाएँ/बाएँ सतह। हम उनके विपरीत फलकों को नहीं देख सकते।
तो, हम किसी भी पासे को मानक या सामान्य पासे के रूप में कैसे पहचानेंगे?
यदि पासे के किन्हीं दो आसन्न फलकों का योग 7 के बराबर है, तो यह निश्चित रूप से एक सामान्य पासा है। उदाहरण के लिए, यह पासा:
dices
यदि पासे के किन्हीं दो आसन्न फलकों का योग 7 के बराबर नहीं है, तो यह एक मानक पासा या एक सामान्य पासा हो सकता है। हम निश्चित रूप से नहीं कह सकते, क्योंकि हम विपरीत चेहरों के 3 जोड़ों में से कोई भी नहीं जानते। उदाहरण के लिए, यह पासा:
dices
पूछे गए प्रश्नों के प्रकार
किसी विशेष चेहरे के विपरीत चेहरे पर अंक/बिंदु/अक्षर/रंग ढूँढना
खाली चेहरे पर अंक/बिंदु/आंकड़े/प्रतीक ढूँढना
अनफोल्डेड पासे से संबंधित प्रश्न
विपरीत फलक
पासे में 6 फलक होते हैं और प्रत्येक फलक का एक विपरीत फलक होता है।
dices
यदि पासे को किसी भी दिशा से देखा जाए तो ज्यादा-से-ज्यादा तीन फलक दिखाई देते हैं, जबकि तीन अदृश्य होते हैं।विपरीत फलक ढूँढना - जब पासे की एक ही स्थिति दी जाये
अगर पासे की एक ही स्थिति दी जाये, तो हम कभी-कभी निश्चित रूप से कह सकते हैं कि दिया गया पासा एक सामान्य पासा है, लेकिन हम यह कभी सुनिश्चित नहीं कर सकते कि दिया गया पासा एक मानक पासा है। अतः ऐसे में हम कभी किसी भी फलक का विपरीत फलक नहीं बता सकते।
प्र. नीचे दिए गए पासे में अंक 4 वाले फलक के विपरीत फलक पर क्या अंक होगा?
dices
व्याख्या:
2 और 5, 4 के विपरीत फलक पर नहीं हो सकते क्योंकि वे इसके निकट हैं। तो, 4 के विपरीत संख्या 1, 3 और 6 में से कोई भी संख्या हो सकती है। अतः, उत्तर 1/3/6 होगा।
प्र. नीचे दिए गए पासे में अंक 4 वाले फलक के विपरीत फलक पर क्या अंक होगा?
dices
व्याख्या:
स्पष्ट रूप से, आसन्न फलकों पर अंकों का योग 7 के बराबर नहीं है। इसलिए, दिया गया पासा एक मानक पासा या एक सामान्य पासा हो सकता है। 4 के विपरीत फलक 2, 3 या 6 हो सकता है।
नोटजब किसी पासे की केवल एक ही स्थिति दी जाती है, तो हम निश्चित रूप से यह निर्धारित नहीं कर सकते हैं कि दिया गया पासा एक मानक पासा है (जब तक कि इसका स्पष्ट रूप से उल्लेख न किया गया हो)। इसलिए, हम इसे एक सामान्य पासा मानेंगे और 3 अदृश्य फलकों में से कोई भी किसी भी दृश्य फलक के विपरीत हो सकता है।
लेकिन हम कुछ मामलों में विपरीत फलक जान सकते हैं, भले ही पासे की केवल एक स्थिति दी गई हो।
Q. एक पासे में a, b, c और d आसन्न फलकों पर दक्षिणावर्त क्रम में, और e और f ऊपर और नीचे लिखे जाते हैं। अगर c सबसे ऊपर है, तो सबसे नीचे क्या होगा?
dices
(a) a (b) b (c) c (d) d व्याख्या:
dices
स्पष्ट रूप से, a, c के विपरीत है। इसलिए, जब c सबसे ऊपर होगा, तब a सबसे नीचे होगा।उत्तर: (a)
यहाँ हम पासे की केवल एक स्थिति दिए जाने पर भी ठीक विपरीत फलक खोजने में सक्षम थे, क्योंकि प्रश्न ने हमें भाषा के रूप में बहुत सारी जानकारी प्रदान की थी।
विपरीत फलक ढूँढना - जब एक पासे की दो स्थितियाँ दी गई हों
जब एक ही पासे की दो स्थितियाँ दी जाती हैं तो चार संभावित बातें हो सकती हैं:
- तीनों फलक समान हैं - ऐसी स्थिति में हम विपरीत फलक नहीं खोज सकते।
dices
यह पासे की एक स्थिति देने जैसा ही है। हमें केवल तीन अलग-अलग चेहरे दिखाई दे रहे हैं। इसलिए जोड़ी बनाना संभव नहीं है। ऐसे में तीन अदृश्य अंकों में से कोई भी तीन दृश्यमान अंकों में से किसी के विपरीत हो सकता है। - कोई भी फलक एक जैसा नहीं है, अर्थात तीनों फलक अलग-अलग हैं - ऐसी स्थिति में भी हम विपरीत फलक नहीं खोज सकते।
dices
सभी छह चेहरे हमें दिखाई दे रहे हैं। लेकिन उनके बीच कोई संबंध नहीं दिया गया है। इसलिए जोड़ी बनाना संभव नहीं है। ऐसे मामले में कोई भी अंक, किसी के भी विपरीत हो सकता है। - दो फलक समान हैं - हम विपरीत फलक का पता लगा सकते हैं।
- एक फलक ही समान है - हम विपरीत फलक का पता लगा सकते हैं।
इसलिए, यदि पासे की दी गई दो स्थितियों में एक या दो फलक समान हों, तो हम विपरीत फलक ज्ञात कर सकते हैं। आइए देखें कि ऐसा कैसे करें।
जब दो फलक समान हों
उदाहरण के लिए, एक ही पासे की निम्नलिखित दो स्थितियाँ देखें:
dices
हमें केवल चार अद्वितीय चेहरे दिखाई दे रहे हैं, अर्थात 3, 4, 5 और 6। तो, केवल एक जोड़ी बनाना संभव है।5 और 6 दोनों स्थितियों में दिखाई दे रहे हैं, अर्थात वे उभयनिष्ठ (common) हैं। ऐसे मामलों में प्रत्येक पासे के असमान अंक एक दूसरे के विपरीत होते हैं, अर्थात 4 और 3 एक दूसरे के विपरीत होंगे।
दो अदृश्य अंकों में से कोई भी उभयनिष्ठ अंक वाले फलकों के विपरीत फलकों पर मौजूद हो सकता है, अर्थात 1 या 2 में से कोई भी 5 और 6 के विपरीत स्थित हो सकता है।
प्र. निम्नलिखित प्रश्न में एक पासे की दो स्थितियाँ दी गई हैं। उस फलक पर अंक ज्ञात कीजिए जो अंक 2 वाले फलक के विपरीत है।
dices
(a) 4 (b) 5 (c) 1 (d) निर्धारित नहीं किया जा सकता व्याख्या:
उत्तर: (c)
जब एक फलक समान हो
उदाहरण के लिए, एक पासे की निम्नलिखित दो स्थितियाँ देखें:
dices
पांच अद्वितीय फलक हमें दिखाई देते हैं, अर्थात 1, 2, 3, 4 और 5। तो, सभी विपरीत फलक जोड़े ज्ञात किये जा सकते हैं।ऐसे मामलों में हम दक्षिणावर्त/वामाव्रत वियम लागू कर सकते हैं। यहाँ हम उभयनिष्ठ अंक से शुरू करते हैं और दक्षिणावर्त (या वामावर्त) दिशा में चलते हैं। अतः, हम दोनों पासों में अंक 3 से आगे बढ़ना शुरू करेंगे।
चेतावनीध्यान दें कि, हमें दोनों पासों में समान रूप से चलना चाहिए, अर्थात या तो दोनों पासों में दक्षिणावर्त या दोनों पासों में वामावर्त।
dices
दो पासों में हमारे सामने आने वाले पहले अंक एक दूसरे के विपरीत होंगे (अर्थात 2 और 5)। इसी तरह, आगे बढ़ने पर, दो पासों में हमारे सामने आने वाले दूसरे अंक एक दूसरे के विपरीत होंगे (अर्थात 1 और 4)। उभयनिष्ठ अंक, जहां से हमने चलना शुरू किया था, उस अंक के विपरीत होगा जो दिखाई नहीं दे रहा है (अर्थात 3 और 6)।
प्र. निम्नलिखित प्रश्न में एक पासे की दो स्थितियाँ दी गई हैं। वह फलक ज्ञात कीजिए जो अंक 6 वाले फलक के विपरीत है।
dices
(a) 5 (b) 1 (c) 2 (d) 3 व्याख्या:
dices
3 से दक्षिणावर्त शुरू करने पर, हम स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि 6 और 1 एक दूसरे के विपरीत हैं।उत्तर: (b)
नोटयदि उभयनिष्ठ अंक एक ही फलक पर हो, तो यह और भी आसान हो जाता है। उदाहरण के लिए:
dices
ऐसे मामलों में दो पासों के संगत फलक एक दूसरे के विपरीत होंगे (अर्थात 3-6 और 4-5), और उभयनिष्ठ अंक स्पष्ट रूप से अदृश्य फलक (अर्थात 2-1) के विपरीत होगा।यदि हम दक्षिणावर्त नियम लागू करते हैं तो भी हमें वही उत्तर मिलेगा।
खुला पासा (अनफोल्डेड पासा)
जब एक पासा खुला होता है, तो इसे आम तौर पर निम्नानुसार दर्शाया जाता है:
unfolded-dice
खुले पासे में विपरीत फलक ढूँढना
एक खुले पासे की किसी भी प्रस्तुति में, एक सीधी रेखा में रखे एकान्तरिक (alternate) फलक एक दूसरे के विपरीत होते हैं।
उदाहरण 1:
unfolded-dice
अर्थात्, ऊपर खुले पासों में विपरीत फलकों के जोड़े हैं: 1 - 5; 3 - 6; 2 - 4.उदाहरण 2:
unfolded-dice
अर्थात्, ऊपर खुले पासों में विपरीत फलकों के जोड़े हैं: 1 - 5; 3 - 6; 2 - 4.प्र. चार उत्तर आकृतियों में से उस आकृति को चुनिए जो प्रश्न आकृति को एक बॉक्स के रूप में मोड़ने पर बनेगी।
dices
dice
व्याख्या:
ये हैं विपरीत चेहरे:
dice
दिए गए खुले पासे से विकल्प (a) वाला बंद पासा नहीं बनाया जा सकता है, क्योंकि हम जानते हैं कि दोनों वृत्त एक दूसरे के विपरीत होने चाहिए। लेकिन यहां उन्हें आसन्न चेहरों के रूप में दिखाया गया है।इसी तरह, दिए गए खुले पासे से विकल्प (b) और (c) में दर्शाये गए बंद पासे नहीं बनाए जा सकते हैं, क्योंकि इन चित्रों में भी विपरीत फलकों को आसन्न फलकों के रूप में दिखाया गया है।
अतः, हमारा उत्तर विकल्प (d) होना चाहिए
उत्तर: (d)
खुले पासे को पुनर्व्यवस्थित करना
पासे को बदले बिना, किसी खुले पासे को कुछ हद तक पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। चूंकि पासे का कोई भी फलक अन्य चार फलकों से जुड़ा होता है, इसलिए इनमें से किसी भी फलक को उसके आसन्न फलकों की ओर धकेला जा सकता है।
यदि हम ये जोड़तोड़ एक खुले पासे पर करते हैं तो पासा वही रहेगा, अर्थार्थ बदलेगा नहीं।
परों (अर्थात दिए गए पासे में 2 और 4) को ऊपर और नीचे ले जाया जा सकता है।
unfolded-dice
ये सभी पाँसे मुड़कर बंद पासा बनाने पर समान होंगे।
unfolded-dice
शीर्ष (अर्थात दिए गए पासे में 1) को बाएँ और दाएँ घुमाया जा सकता है।
unfolded-dice
ये सभी पाँसे मुड़ने पर समान पासा बनाएंगे।
unfolded-dice
पूँछ (अर्थात दिए गए पासे में 6) को, बीच वाले फलक को छोड़कर, किसी भी फलक से जोड़ा जा सकता है।
unfolded-dice
ये सभी पाँसे मुड़ने पर समान पासा बनाएंगे।
unfolded-dice
प्र. एक ही घन के तीन दृश्य दिए गए हैं। घन के सभी फलकों को 1 से 6 तक क्रमांकित किया गया है। उस आकृति का चयन करें जो घन को खोलने पर प्राप्त होगी।
dices
dices
व्याख्या:
विपरीत जोड़े: 5 - 4; 1 - 2 और 3 - 6
अब, यदि 1 और 2 विपरीत फलक हैं, तो खुले पासे में वे आसन्न नहीं होने चाहिए। यदि वे एक सीधी रेखा में हैं, तो उन्हें एकान्तरिक (बीच में एक छोड़कर) रखा जाएगा, अर्थात उनके बीच कोई अन्य फलक होगा।
विकल्पों को देखने पर, हम देख सकते हैं कि विकल्प (a), (b) और (c) में, 1 और 2 आसन्न फलकों के रूप में दिखाए गए हैं। तो, ये हमारे पासे नहीं हो सकते।
विकल्प (d) में दी गई आकृति 1 और 2 को एकान्तरिक रूप से एक सीधी रेखा में दर्शाती है। अत: इस पासे को मोड़ने पर वे विपरीत होंगे। हम यह भी देख सकते हैं कि इस स्थिति में 4 - 5 और 3 - 6 भी विपरीत हैं।
इसलिए, जब हम इस पासे को मोड़ेंगे, तो हमें प्रश्न में दिया गया मुड़ा हुआ पासा मिलेगा।
उत्तर: (d)