चक्रीयता विधि क्या होती है? (What is Cyclicity Method?)

Overview

इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - What is Cyclicity Method?, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• गणित में संख्याओं के प्रकार
• क्रमागत संख्याएं क्या होती हैं?
• भिन्न क्या होता है?
• को-प्राइम क्या होते हैं?
• क्रमगुणित की अवधारणा
• गुणनखंड और गुणज क्या होते हैं?
• चक्रीयता विधि क्या होती है?
• शेष प्रमेय
• कई संख्याओं के शेष
• विभाज्यता की अवधारणा
• LCM और HCF की अवधारणा

इस लेख में, हम संख्या प्रणाली (Number Systems) में लोकप्रिय तरीकों में से एक, चक्रीयता विधि (Cyclicity Method) पर कुछ प्रकाश डालेंगे।

गुणनफल में चक्रीयता की अवधारणा (Concept of Cyclicity in Product)

यदि हम किन्हीं 2 संख्याओं को गुणा करें, तो गुणनफल का अंतिम अंक इन दोनों संख्याओं के अंतिम अंक पर निर्भर करेगा।

जैसे की, यदि हम 23 और 47 को गुणा करते हैं, तो इस गुणनफल का अंतिम अंक 3 x 7 के अंतिम अंक के समान होगा, अर्थात 1

संख्याओं के घातों में चक्रीयता की अवधारणा (Concept of Cyclicity in Powers of numbers)

हम इस अवधारणा को अन्य क्षेत्रों में भी विस्तारित कर सकते हैं, जैसे की, संख्याओं की घात (exponents of numbers)

जैसे की, 3 का अंतिम अंक = 3
\(3^2\) (अर्थात 3 × 3) का अंतिम अंक = 9
\(3^3\) (अर्थात 3 × 3 × 3) का अंतिम अंक = 7
\(3^4\) (अर्थात 3 × 3 × 3 × 3) का अंतिम अंक = 1
\(3^5\) (अर्थात 3 × 3 × 3 × 3 × 3) का अंतिम अंक = 3

जैसा कि हम देख सकते हैं, 3 के घातांक (exponents) का अंतिम अंक एक दोहराव पैटर्न का अनुसरण करता है: 3, 9, 7, 1

वास्तव में, सभी संख्याओं के घातकों के अंतिम अंकों का एक चक्र होता है। यानी किसी भी संख्या की घातों के अंतिम अंक, निश्चित चरणों के बाद दोहराते हैं। यदि हम यह पता लगा लें कि किसी संख्या की घातों का अंतिम अंक कितने चरणों में दोहराया जाता है, तो हम किसी भी संख्या की किसी भी घात का अंतिम अंक ज्ञात कर सकते हैं।

ऊपर के उदाहरण में, 3 की चक्रीयता 4 थी, अर्थात \(3^1\) का अंतिम अंक \(3^5\) के समान है, \(3^2\) का अंतिम अंक \(3^6\) के समान है, और इसी तरह आगे भी।

आइए 2 की घातों को देखें।

\(2^1\) का अंतिम अंक 2 है
\(2^2\) का अंतिम अंक 4 है
\(2^3\) का अंतिम अंक 8 है
\(2^4\) का अंतिम अंक 6 है
\(2^5\) का अंतिम अंक 2 है

जैसा कि हम देख सकते हैं, 2 के घातांक का अंतिम अंक एक दोहराव पैटर्न का अनुसरण करता है: 2, 4, 8, 6

तो, 2 की चक्रीयता 4 है, यानी 2 की घातों के लिए अंतिम अंक हर 4 चरणों के बाद दोहराते हैं। \(2^1\) का अंतिम अंक \(2^5\) के समान है, \(2^2\) का वही अंतिम अंक है जो \(2^6\) का है, और इसी तरह आगे भी।

प्र. \(2^{39}\) का अंतिम अंक ज्ञात करें।

व्याख्या: