संघ और प्रतिच्छेदन सूत्र और अवधारणाएँ (Union and Intersection Formulae and Concepts)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Union and Intersection Formulae and Concepts, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• समुच्चय सिद्धान्त की मूल अवधारणाएं
• संघ और प्रतिच्छेदन सूत्र और अवधारणाएँ
• फलनों की मूल अवधारणाएं

इस लेख में, हम दो या दो से अधिक समुच्चयों के संघ (Union) और प्रतिच्छेदन (Intersection) की अवधारणाओं के बारे में और अधिक विस्तार से अध्ययन करेंगे।

दो ये तीन समुच्चयों के लिए संघ और प्रतिच्छेदन सूत्र (Union and Intersection formulae for two and three sets)

सूत्र 1

यदि A और B परिमित समुच्चय (finite sets) हैं तो:

n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)

नोट

यदि दो समुच्चयों में कोई उभयनिष्ठ अवयव नहीं है, अर्थात (A ∩ B) = φ, तो n (A ∪ B) = n (A) + n (B)

प्र. एक कॉलेज में 30 शिक्षक हैं। 22 शिक्षक अंग्रेजी पढ़ाते हैं और 6 शिक्षक गणित और अंग्रेजी दोनों पढ़ाते हैं। कितने शिक्षक गणित पढ़ा रहे होंगे?

व्याख्या :
1 2

सूत्र 2

यदि A, B और C परिमित समुच्चय (finite sets) हैं तो:

n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A ∩ B) – n (A ∩ C) – n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)

प्र. एक विद्यालय में 38 विद्यार्थी गणित में, 15 विद्यार्थी भौतिकी में और 20 विद्यार्थी रसायन विज्ञान में उत्तीर्ण हुए। यदि तीनों विषयों में केवल तीन विद्यार्थी उत्तीर्ण हुए और विद्यालय में कुल 58 विद्यार्थी हैं, तो तीन में से ठीक दो विषयों में कितने विद्यार्थी उत्तीर्ण हुए?

व्याख्या :
1 2

समुच्चय सिद्धान्त से संबंधित कीवर्ड (Keywords related to Set Theory)

सेट थ्योरी के प्रश्नों को हल करते समय, आप अक्सर कुछ ऐसे शब्दों से रूबरू होंगे जिन्हें आपको समझना चाहिए, अन्यथा आप समस्याओं को सही ढंग से नहीं समझ पाएंगे और अप्रत्याशित त्रुटियां कर देंगे।

हम इनके बारे में अध्ययन करेंगे: और (And), या (Or), केवल (Only), कम से कम (at least), ज्यादा से ज्यादा (at most), नहीं/कोई नहीं (Not/None)

निम्नलिखित वेन आरेख पर एक नज़र डालें, और यह समझने की कोशिश करें कि सेट थ्योरी में इन शब्दों का क्या अर्थ है:

केवल (Only)

A = P + X + Y + T
केवल A (A only) = P

B = Q + X + Z + T
केवल B (B only) = Q

C = R + Y + Z + T
केवल C (C only) = R

और (And)

और (And) का अर्थ है प्रतिच्छेदन, यानी

A और B = X + T
A और केवल B = X

B और C = Z + T
B और केवल C = Z

A और C = Y + T
A और केवल C = Y

या (Or)

या (Or) का अर्थ है संघ, अर्थात

A या B = P + Y + X + T + Q + Z
A या केवल B = P + Q + X
केवल A या केवल B = P + Q

B या C = X + Q + T + Z + Y + R
B या केवल C = Q + R + Z
केवल B या केवल C = Q + R

A या C = P + X + Y + T + R + Z
A या केवल C = P + R + Y
केवल A या केवल C = P + R

नहीं/कोई नहीं (Not/None)

तीन में से कोई नहीं = (A + B + C)′, यानी (A ∪ B ∪ C)′

A या B नहीं = (A या B)′ = R + (A + B + C)′
B या C नहीं = (B या C)′ = P + (A + B + C)′
A या C नहीं = (A या C)′ = Q + (A + B + C)′

कम से कम और ज्यादा से ज्यादा (At least and At most)

कम से कम दो का अर्थ है 2 या अधिक, अर्थात 2 से कम नहीं। चूंकि हमारे पास केवल तीन सेट A, B और C हैं, इसलिए यहां 'कम से कम' का अर्थ 2 या 3 है।
कम से कम दो = X + Y + Z + T

ज्यादा से ज्यादा दो का मतलब 2 या उससे कम (2, 1, या 0) है, यानी 2 से ज्यादा नहीं।
ज्यादा से ज्यादा दो = कुल – T = U - T = P + Q + R + X + Y + Z + (A ∪ B ∪ C)′

यह कुछ उदाहरणों से और अधिक स्पष्ट हो जाएगा।

प्र. निम्नलिखित वेन आरेख तीन भाषाओं को बोलने वाले लोगों की संख्या को दर्शाता है अर्थात तमिल (Tamil), तेलुगु (Telugu) या अंग्रेजी (English)

आरेख:
निम्नलिखित भाषा बोलने वाले लोगों की संख्या ज्ञात कीजिए:
(i) तमिल और तेलुगु (Tamil AND Telugu)
(ii) केवल तमिल और तेलुगु (Tamil AND Telugu only)
(iii) केवल तमिल या तेलुगू (Tamil OR Telugu only)
(iv) केवल तमिल या केवल तेलुगु (Tamil only OR Telugu only)
(v) तमिल या तेलुगु नहीं (Not Tamil OR Telugu)
(vi) या तो तमिल या तेलुगू (Either Tamil OR Telugu)
(vii) कम से कम दो भाषाएं (At least two languages)
(viii) ज्यादा से ज्यादा दो भाषाएं (At most two languages)

व्याख्या:

प्रश्न. 150 विद्यार्थियों की एक कक्षा में 50 विद्यार्थी गणित (Maths) में उत्तीर्ण हुए| 40 विद्यार्थी केवल हिंदी (Hindi) में तथा 20 विद्यार्थी दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण हुए। ज्ञात कीजिये:

(i) कितने विद्यार्थी दोनों विषयों में उत्तीर्ण हुए?
(ii) केवल किसी एक विषय में कुल कितने विद्यार्थी उत्तीर्ण हुए?
(iii) कितने छात्र कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण हुए?

व्याख्या:

प्र. निम्नलिखित आरेख कॉलेज में रसायन विज्ञान (Chemistry), इलेक्ट्रॉनिक्स (Electronics) और अंग्रेजी (English) की परीक्षा में अनुत्तीर्ण होने वाले उम्मीदवारों की संख्या को दर्शाता है। इन 3 परीक्षणों में उपस्थित होने वाले उम्मीदवारों की कुल संख्या 600 थी।

आरेख:

(i) कम से कम दो विषयों में अनुत्तीर्ण होने वाले उम्मीदवारों का प्रतिशत क्या है?
(ii) उत्तीर्ण उम्मीदवारों की कुल संख्या कितनी है?
(iii) कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण होने वाले उम्मीदवारों की संख्या कितनी है?
(iv) केवल रसायन विज्ञान में उत्तीर्ण उम्मीदवारों की संख्या कितनी है?
(v) केवल अंग्रेजी में उत्तीर्ण उम्मीदवारों की संख्या कितनी है?
(vi) केवल इलेक्ट्रॉनिक्स में उत्तीर्ण उम्मीदवारों की संख्या कितनी है?
(vii) रसायन विज्ञान और इलेक्ट्रॉनिक्स दोनों में उत्तीर्ण उम्मीदवारों की संख्या कितनी है?
(viii) इलेक्ट्रॉनिक्स और अंग्रेजी दोनों में उत्तीर्ण उम्मीदवारों की संख्या कितनी है?
(ix) रसायन विज्ञान और अंग्रेजी दोनों में उत्तीर्ण उम्मीदवारों की संख्या कितनी है?
(x) कम से कम दो विषयों में उत्तीर्ण उम्मीदवारों की संख्या कितनी है?
(xi) अधिकतम दो विषयों में उत्तीर्ण अभ्यर्थियों की संख्या कितनी है?
(xii) अधिकतम एक विषय में उत्तीर्ण अभ्यर्थियों की संख्या कितनी है?

व्याख्या: