विभिन्न प्रकार के संचय प्रश्न (Types of Combination Questions)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Types of Combination Questions, in Hindi

इस लेख में, हम उन विभिन्न तरह के प्रश्नों पर एक नज़र डालेंगे जो संचय (Combination) की अवधारणा पर बनते हैं।

n विशिष्ट चीज़ें (n distinct items)

r चीज़ों का चयन (Selecting r items)

n विशिष्ट चीज़ों में से r वस्तुओं का चयन करने के तरीकों की संख्या = \(C^n_r\)

सभी अलग-अलग चीज़ों को चुनने के तरीकों की संख्या = \(C^n_n = C^n_0\) = 1 (केवल एक संभव तरीका)

प्र. एक टीम में 9 सदस्यों में से 3 को मॉड्यूल लीड के रूप में चुना जाना है। इसे कितने तरीकों से किया जा सकता है?

व्याख्या:

0, 1 या अधिक चीज़ों का चयन (Selecting 0, 1 or more items)

n चीज़ों में से, 0 चीज़ों को \(C^n_0\) तरीकों से चुना जा सकता है; 1 चीज़ को \(C^n_1\) तरीकों से चुना जा सकता है; 2 चीज़ों को \(C^n_2\) तरीकों से चुन सकते हैं; तीन चीज़ों को \(C^n_3\) तरीकों से चुन सकते हैं, और इसी तरह आगे भी।

तो, n विशिष्ट चीज़ों से 0 या अधिक चीज़ों का चयन करने के तरीकों की संख्या = \(C^n_0 + C^n_1 + C^n_2 + … + C^n_n = 2^n\)

n विशिष्ट (अलग-अलग) चीज़ों से 1 या अधिक चीज़ चुनने के तरीकों की संख्या = \(C^n_1 + C^n_2 + … + C^n_n = 2^n\) - 1

इसे देखने का दूसरा तरीका भी है

चयन करते हुए प्रत्येक चीज़ के साथ दो बातें हो सकती हैं; इसे या तो चुना जाता है या खारिज कर दिया जाता है।

तो, n विशिष्ट वस्तुओं से 0 या अधिक वस्तुओं का चयन करने के तरीकों की संख्या = \(2^n\)

लेकिन, इन \(2^n\) तरीकों में वह मामला भी शामिल है जब सभी वस्तु अस्वीकार कर दी जाती हैं। इसलिए, n विशिष्ट वस्तुओं से 1 या अधिक वस्तुओं का चयन करने के तरीकों की संख्या = \(2^n\) - 1

प्र. एक व्यक्ति अपने जन्मदिन की पार्टी में अपने 5 दोस्तों में से एक या अधिक को कितने तरीकों से आमंत्रित कर सकता है?

व्याख्या:

n समान चीज़ें (n identical items)

सभी चीज़ें चुनने के तरीकों की संख्या - केवल एक संभव तरीका

n समान वस्तुओं में से r वस्तु चुनने के तरीकों की संख्या = 1
(आप जिन भी r चीज़ों को चुनेंगे, वे सब समान ही लगेंगे)

n समान वस्तुओं में से 0 या अधिक वस्तुओं का चयन करने के तरीकों की संख्या = n + 1

n समान वस्तुओं में से 1 या अधिक वस्तुओं का चयन करने के तरीकों की संख्या = n

उन तरीकों की कुल संख्या जिनमें p + q + r + ....... चीजों में से कुछ या सभी को लेकर चयन किया जा सकता है (जहां p एक प्रकार के समान हैं, q दूसरे प्रकार के समान हैं, r तीसरे प्रकार के समान हैं, और इसी तरह) = [(p + 1)(q + 1)(r + 1) ...] - 1

समान और विशिष्ट वस्तुओं का मिश्रण (Mix of identical and distinct items)

अगर p एक प्रकार की समान चीज़ें हैं, q दूसरी तरह की समान चीज़ें हैं, r तीसरी तरह की समान चीज़ें हैं, और n भिन्न वस्तुएँ हैं, तो उनमें से एक या अधिक वस्तुओं को चुनने के तरीकों की कुल संख्या = [(p + 1)(q + 1)(r + 1)]\(2^n\) - 1