ज्यामिति में त्रिभुज (Triangle in Geometry)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Triangle in Geometry, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• ज्यामिति क्या होती है?
• ज्यामिति में रेखाएं और कोण
• ज्यामिति में त्रिभुज
• त्रिभुज से संबंधित महत्वपूर्ण रेखाएं और बिंदु
• त्रिभुज से सम्बंधित महत्वपूर्ण प्रमेय और नियम
• समरूपता प्रमेय और उनके अनुप्रयोग
• त्रिभुजों की सर्वांगसमता और समरूपता क्या होती हैं?
• त्रिभुज के क्षेत्रफल से सम्बंधित सूत्र और गुण
• चतुर्भुज और उसके गुण
• चतुर्भुज के क्षेत्रफल से सम्बंधित सूत्र और गुण
• समांतर चतुर्भुज और उसके गुण
• समलंब चतुर्भुज और उसके गुण
• बहुभुज और उसके गुण
• वृत्त और उसके गुण
• वृत्त प्रमेय

इस लेख में, हम त्रिभुज की मूल अवधारणाओं और गुणों का अध्ययन करेंगे।

त्रिभुज क्या होता है? (What is a Triangle?)

त्रिभुज एक समतल और बंद (plane and closed) ज्यामितीय आकृति होती है, जिसकी तीन भुजाएँ (sides) होती हैं, अर्थात यह तीन रेखाखंडों (line segments) से घिरा होता है।

तो, एक त्रिभुज में निम्नलिखित होते हैं:

• तीन भुजाएँ (three sides)
• तीन कोण (three angles)
• तीन कोने (three vertices)

त्रिभुज के मूल गुण (Basic Properties of a Triangle)

त्रिभुज के कुछ बहुत ही बुनियादी गुण हैं, जिनके बारे में आपको अवश्य पता होना चाहिए।

• किसी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग सदैव 180° होता है।

• किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग सदैव तीसरी भुजा से बड़ा होता है।

• त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के बीच का अंतर हमेशा तीसरी भुजा से कम होगा।

त्रिभुजों के प्रकार (भुजा के अनुसार)

समभुज त्रिकोण (Equilateral Triangle)

यह एक ऐसा त्रिभुज है जिसकी तीन बराबर भुजाएँ होती हैं।
उपरोक्त आकृति में, AB = BC = CA

चूँकि एक समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं, इसलिए इसके सभी कोण भी समान होते हैं (प्रत्येक कोण 60° के बराबर होता है)। अर्थात् ∠ABC = ∠BCA = ∠CAB

समद्विबाहु त्रिकोण (Isosceles Triangle)

यह एक ऐसा त्रिभुज है जिसकी कोई भी दो भुजाएं बराबर होती है। तीसरी भुजा की लंबाई अलग होती है।
उपरोक्त आकृति में, BC = CA

जिस प्रकार एक समद्विबाहु त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर होती हैं, उसी प्रकार उसके दो कोण भी बराबर होते हैं। अर्थात् ∠ABC = ∠CAB

नोट

• यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हों (BC = CA), तो उनके सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं (∠ABC = ∠CAB)
• यदि किसी त्रिभुज के दो कोण बराबर हों (∠ABC = ∠CAB), तो उनकी सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होती हैं (BC = CA)

विषमबाहु त्रिकोण (Scalene Triangle)

यह एक ऐसा त्रिभुज है जिसकी सभी असमान भुजाएँ हैं। अर्थात् किसी भी दो भुजाओं की लंबाई समान नहीं होती है।
चूँकि एक विषमबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ असमान होती हैं, इसलिए इसके तीनों कोण भी असमान होते हैं।

नोट

• यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ असमान हों, तो बड़ी भुजा का विपरीत कोण बड़ा होता है।
• यदि किसी त्रिभुज के दो कोण असमान हों, तो बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है।

त्रिभुजों के प्रकार (कोण के अनुसार)

न्यूनकोण त्रिभुज (Acute-angled Triangle)

न्यूनकोण त्रिभुज के तीनों कोण न्यून कोण (acute angles) होते हैं, अर्थात 90° से कम।

न्यूनकोण त्रिभुज में:

• किन्हीं दो कोणों का योग 90° से अधिक होगा। (कारण: यदि ऐसा नहीं है, तो तीसरा कोण 90° से अधिक होना चाहिए। उस स्थिति में, त्रिभुज न्यूनकोण त्रिभुज नहीं होगा।)

• यदि भुजाओं की लंबाई a, b और c है (सबसे बड़ी भुजा c है), तो \(c^2 < a^2 + b^2\)

समकोण त्रिभुज (Right-angled Triangle)

समकोण त्रिभुज में, एक कोण समकोण (right angle) होता है, अर्थात ठीक 90°

समकोण त्रिभुज में:

• दो अन्य कोणों का योग (समकोण के अलावा) 90° के बराबर होगा। (कारण: हम जानते हैं कि त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है। यदि एक कोण 90° है, तो अन्य दो का योग भी 90° होना चाहिए।)
  
  दूसरे शब्दों में, हम यह भी कह सकते हैं कि यदि आप कभी पाते हैं कि किसी त्रिभुज में दो कोणों का योग तीसरे कोण के बराबर है, तो इसका अर्थ है कि यह एक समकोण त्रिभुज है।

• यदि भुजाओं की लंबाई a, b और c है (सबसे बड़ी भुजा c है, जिसे कर्ण/hypotenuse भी कहा जाता है), तो \(c^2 = a^2 + b^2\)

अधिक कोण वाला त्रिभुज (Obtuse-angled Triangle)

एक अधिक कोण वाले त्रिभुज में, कोणों में से एक अधिक कोण (obtuse angle) होता है, अर्थात 90° से अधिक।

अधिक कोण वाले त्रिभुज में:

• दो अन्य कोणों का योग (अधिक कोण के अलावा) 90° से कम होगा। (कारण: यदि ऐसा नहीं है, तो तीसरा कोण 90° से कम होना चाहिए। उस स्थिति में, त्रिभुज अधिक कोण वाला त्रिभुज नहीं होगा।)

• यदि भुजाओं की लंबाई a, b और c है (सबसे बड़ी भुजा c है), तो \(c^2 > a^2 + b^2\)

त्रिभुज के कुछ और उन्नत गुण (Some more advanced properties of a triangle)

गुण 1

यदि त्रिभुज की एक भुजा (जैसे AB) आगे बढ़ाई जाती है, तो इस प्रकार बना बाह्य कोण/exterior angle (∠CBD) दो अंतः सम्मुख कोणों (interior opposite angles) के योग के बराबर होगा। अर्थात् ∠CBD = ∠BCA + ∠CAB = x° + y°

नोट

हम चतुर्भुजों के मामले में भी समान गुण पाते हैं।

एक चतुर्भुज में, एक शीर्ष (vertex) का बहिष्कोण अन्य तीन शीर्षों के अंतः कोणों के योग के बराबर होता है।

गुण 2

एक समबाहु त्रिभुज (equilateral triangle) में, त्रिभुज के भीतर किसी भी बिंदु से तीनों भुजाओं की लंबवत दूरियों का योग त्रिभुज की ऊंचाई के बराबर होता है। आइए हम त्रिभुज के अंदर एक बिंदु D लेते हैं, और इससे भुजाओं पर लंबवत (perpendiculars) गिराते हैं।
उपरोक्त आकृति में, समबाहु त्रिभुज ABC की ऊँचाई, h = DP + DQ + DR