चतुर्भुज के क्षेत्रफल से सम्बंधित सूत्र और गुण (Formulae and Properties of Area of a Quadrilateral)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Formulae and Properties of Area of a Quadrilateral, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• ज्यामिति क्या होती है?
• ज्यामिति में रेखाएं और कोण
• ज्यामिति में त्रिभुज
• त्रिभुज से संबंधित महत्वपूर्ण रेखाएं और बिंदु
• त्रिभुज से सम्बंधित महत्वपूर्ण प्रमेय और नियम
• समरूपता प्रमेय और उनके अनुप्रयोग
• त्रिभुजों की सर्वांगसमता और समरूपता क्या होती हैं?
• त्रिभुज के क्षेत्रफल से सम्बंधित सूत्र और गुण
• चतुर्भुज और उसके गुण
• चतुर्भुज के क्षेत्रफल से सम्बंधित सूत्र और गुण
• समांतर चतुर्भुज और उसके गुण
• समलंब चतुर्भुज और उसके गुण
• बहुभुज और उसके गुण
• वृत्त और उसके गुण
• वृत्त प्रमेय

इस लेख में, हम चतुर्भुज के क्षेत्रफल से संबंधित विभिन्न अवधारणाओं के बारे में जानेंगे, और विभिन्न सूत्रों के बारे में भी जिनका उपयोग हम इसे खोजने के लिए कर सकते हैं।

आइए हम विभिन्न सूत्रों को देखें जिनका हम उपयोग कर सकते हैं:

• किसी भी सामान्य चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए
• किसी विशेष प्रकार के चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, जैसे की समलम्ब चतुर्भुज (trapezium), समचतुर्भुज (rhombus), आदि

चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र (Formulae for Area of Quadrilateral)

सूत्र 1

चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × एक विकर्ण × विपरीत शीर्षों से उस विकर्ण पर लम्बों का योग

आरेख:

□ABCD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × BD × (AN + CM)

मूल रूप से यह दो त्रिभुजों, ABD और CDB के क्षेत्रफलों को जोड़ने के समान है।

सूत्र 2

चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × दो विकर्णों का गुणनफल × दो विकर्णों के बीच के कोण की ज्या (sine)

आरेख:

□ABCD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × AC × BD × sin θ

चक्रीय चतुर्भुजों के क्षेत्रफल के लिए सूत्र (Formulae for Area of Cyclic Quadrilaterals)

यदि चक्रीय चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई a, b, c और d है, तो:

चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\sqrt{(s - a) (s - b) (s - c) (s - d)}\)

जहाँ, s = \(\frac{a + b + c + d}{2}\). इसे अर्ध-परिधि (semi-perimeter) कहते हैं।

समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र (Formulae for Area of Parallelograms)

यहां कुछ सूत्र दिए गए हैं जिनका उपयोग हम किसी भी प्रकार के समांतर चतुर्भुज के लिए कर सकते हैं।

सूत्र 1

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार (Base) × ऊँचाई (Height)

उपरोक्त आकृति में, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = AB × h

नोट

यदि आधार और लंबाई 'a' की दूसरी भुजा के बीच का कोण θ है, तो:
ऊंचाई (h) = a sin θ

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = AB × h = AB × a sin θ

सूत्र 2

यदि एक समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं की लंबाई a और b है, और किसी एक विकर्ण की लंबाई d है, तो:

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 2 \(\sqrt{s (s - a) (s - b) (s - d)}\)

जहाँ, s = \(\frac{a + b + d}{2}\). इसे अर्ध-परिधि (semi-perimeter) कहते हैं।

हालाँकि, कुछ ऐसे सूत्र हैं जिनका उपयोग हम कुछ विशिष्ट प्रकार के समांतर चतुर्भुजों (parallelograms) के लिए कर सकते हैं। आइए इन्हें भी देखें।

सूत्र 3: समचतुर्भुज (Rhombus) के लिए

यदि दिया गया समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है, तो हम उसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का भी उपयोग कर सकते हैं।

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × विकर्णों का गुणनफल = \(\frac{1}{2} × d_1 × d_2\)

नोट

हम पतंग (kite) का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए भी इसी सूत्र का उपयोग करते हैं।

पतंग का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × विकर्णों का गुणनफल = \(\frac{1}{2} × d_1 × d_2\)

सूत्र 4: वर्ग (Square) के लिए

यदि दिया गया समांतर चतुर्भुज एक वर्ग है, तो हम इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए निम्न सूत्र का भी उपयोग कर सकते हैं।

वर्ग का क्षेत्रफल = \(a^2 = \frac{d^2}{2}\)

नोट

किसी वर्ग का विकर्ण, d = \(\sqrt{2}\) a

सूत्र 5: स्पर्श रेखीय वर्ग के लिए (For Circumscribed Square)

आरेख:

स्पर्श रेखीय वर्ग (circumscribed square) की भुजा, a = उत्कीर्ण वृत्त (inscribed circle) का व्यास, d

उत्कीर्ण वृत्त के क्षेत्रफल और स्पर्श रेखीय वर्ग के क्षेत्रफल का अनुपात = \(\frac{π r^2}{a^2} = \frac{π d^2/4}{a^2} = \frac{π a^2/4}{a^2} = \frac{π}{4}\)

सूत्र 6: आयत (Rectangle) के लिए

सूत्र 6a

यदि दिया गया समांतर चतुर्भुज एक आयत है, तो हम इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए निम्न सूत्र का भी उपयोग कर सकते हैं।

आयत का क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई = l x b

सूत्र 6b: आयत के बीच का रास्ता (Pathway across the middle of a rectangle)

एक आयत के बीच के रास्ते पर एक नज़र डालें।
पथ का क्षेत्रफल = (l + b – x)x
पथ का परिमाप = 2(l + b) – 4x = 2(l + b – 2x)

सूत्र 6c: आयत के चारों ओर का रास्ता (Pathway around a rectangle)

एक आयत के चारों ओर पथ पर एक नज़र डालें (पथ आयत के अंदर है)।
पथ का क्षेत्रफल = (l + b – 2x)2x
परिमाप (Primeter) = आंतरिक परिमाप + बाहरी परिमाप = 2(l + b - 4x) + 2(l + b) = 4 (l + b – 2x)

एक आयत के चारों ओर के मार्ग पर एक नज़र डालें (पथ आयत के बाहर है)।
पथ का क्षेत्रफल = (l + b + 2x)2x
परिमाप (Primeter) = आंतरिक परिमाप + बाहरी परिमाप = 2 (l + b) + 2(l + b + 4x) = 4(l + b + 2x)

समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र (Formulae for Area of Trapezium)

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × (समानांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई

आरेख:

उपरोक्त आकृति में, समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × (AB + CD) × h

नोट

ऊँचाई समानांतर भुजाओं के बीच की लंबवत दूरी है।

चतुर्भुज के क्षेत्रफल से संबंधित गुण (Properties related to Area of a Quadrilateral)

गुण 1

यदि दो समांतर चतुर्भुजों (parallelograms) का आधार समान है (या आधार समान लंबाई के हैं), और वे समान समानांतर रेखाओं के बीच हैं (अर्थात उनकी ऊंचाई समान है), तो उनका क्षेत्रफल बराबर होगा।
यदि AB ∥ PQ, तो □ABCD का क्षेत्रफल = □ABEF का क्षेत्रफल

इसका कारण यह है कि एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार और ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है। यदि दो समांतर चतुर्भुजों की ऊँचाइयाँ समान हों और उनके आधारों की लंबाई भी (जैसा कि ऊपर है), तो स्पष्ट रूप से उनका क्षेत्रफल समान होगा।

गुण 2

यदि किसी वर्ग की भुजा/विकर्ण x गुना हो जाता है, तो वर्ग का क्षेत्रफल \(x^2\) गुना हो जाएगा।

गुण 3

एक आयत (या एक वर्ग) के मामले में, यदि इसकी लंबाई में x% की वृद्धि की जाती है, तो आयत के समान क्षेत्रफल को बनाए रखने के लिए इसकी चौड़ाई को \(\frac{100a}{100 + a}\)% घटाना होगा।

गुण 4

यदि किसी चतुर्भुज की सभी भुजाओं में x% की वृद्धि (या कमी) की जाती है, तो इसके विकर्णों में भी x% की वृद्धि (या कमी) हो जाती है।

नोट

यदि किसी 2-D आकृति की सभी भुजाओं में x% की वृद्धि (या कमी) की जाती है, तो:

• इसका परिमाप (perimeter) भी x% बढ़ता (या घटता) है।

• इसका क्षेत्रफल \(x(2 ± \frac{x}{100})\)% से बदल जाता है। यदि वृद्धि की जाती है, तो x का धनात्मक मान लें। यदि कमी की जाती है, तो x का ऋणात्मक मान लें।