मिश्रण और एलीगेशन की अवधारणा (Concept of Mixtures and Alligation)

Overview

इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Concept of Mixtures and Alligation, in Hindi

इस लेख में हम मिश्रण (Mixture) और एलीगेशन (पृथ्थीकरण, Alligation) की अवधारणा को समझने का प्रयास करेंगे|

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• औसत क्या होता है?
• समान्तर श्रेढ़ी का औसत कैसे ज्ञात करें?
• Weighted Average क्या होता है?
• घोल के एक हिस्से को बदलना

मिश्रण क्या होता है? (What is a mixture?)

मिश्रण (Mixture) - विशिष्ट विशेषताओं वाले भागों का कोई संग्रह।

उदाहरण के लिए:
एक वर्ग (class) अलग-अलग उम्र, ऊंचाई, अंक, आदि वाले लड़कों और लड़कियों का मिश्रण होता है।

मिश्रण के प्रकार (Types of Mixtures)

साधारण मिश्रण क्या होता है? (Simple mixture)

साधारण मिश्रण: जब दो अलग-अलग सामग्रियों को एक साथ मिलाया जाता है।

उदाहरण के लिए:
एक घोल, जिसमें दूध और पानी का अनुपात 3:7 है।
इसका मतलब है कि अगर घोल में 3k लीटर दूध है, तो 7k लीटर पानी होगा, और कुल घोल 10k लीटर होगा।
दूध का अंश या सांद्रण (Concentration) = 3/10 या 30%

मिश्रित मिश्रण क्या होता है? (Compound mixture)

मिश्रित मिश्रण: जब दो या दो से अधिक साधारण मिश्रणों को एक साथ मिलाकर दूसरा मिश्रण बनाया जाता है।

जैसे की, 2:3 दूध और पानी के घोल को, 3:1 अल्कोहल और पानी के घोल में, 1:4 के अनुपात में मिलाया जाता है।

परिणामी मिश्रण निम्नलिखित चीज़ों पर निर्भर करता है:

• मिश्रित किए जा रहे घोलों की सांद्रता (concentration)
• वह अनुपात जिसमें वह दो विलयन मिश्रित किये जाते हैं।

मिश्रण प्रश्नों को हल करने के तरीके (Methods for Mixture Questions)

ऐसी दो विधियाँ हैं, जिनके द्वारा हम मिश्रण पर आधारित प्रश्नों को हल कर सकते हैं:

• Weighted average विधि
• Alligation विधि

Weighted average विधि

यदि मूल्य x और y के दो अवयवों A और B को क्रमशः m : n के अनुपात में मिलाया जाता है, तो परिणामी मिश्रण की कीमत होती है:

\(A_{wt} = \frac{mx + ny}{m + n}\)

Alligation विधि

Weighted average पद्धति में हमें चरों का उपयोग करना था, और फिर समीकरणों को हल करना था। क्या हम इससे बच सकते हैं?

यहीं से एलीगेशन विधि आती है। एलीगेशन और कुछ नहीं बल्कि Weighted average का एक पुनर्व्यवस्थित रूप है।

हमने देखा कि, Weighted average \(A_{wt} = \frac{mx + ny}{m + n}\)
या \(A_{wt}\) (m + n) = (mx + ny)
या \(A_{wt} m + A_{wt}\) n = mx + ny
या mx - \(A_{wt} m = A_{wt}\) n - ny
या m(x - \(A_{wt}) = n(A_{wt}\) - y)
या \(\frac{m}{n} = \frac{A_{wt} - y}{x - A_{wt}}\)

यही एलीगेशन सूत्र है।

उपरोक्त सूत्र को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
कृपया ध्यान दें, कि चूंकि हमने ऊपरी बाएं कोने पर अधिक कीमत ली है, नीचे के बाएं आंकड़े के नीचे के दाएं आंकड़े के अनुपात से, हमें महँगी चीज़ और सस्ती चीज़ का अनुपात मिलेगा।

नोट

एलीगेशन, मिलने वाले वास्तविक आयतन नहीं देता है, बल्कि केवल वह अनुपात देता है जिसमें मात्राओं को मिलाया जाना है।

Weighted Average विधि बनाम Alligation विधि

जहां कहीं भी Weighted Average का उपयोग किया जा सकता है, एलीगेशन का उपयोग भी किया जा सकता है| और जहां भी एलीगेशन का उपयोग किया जा सकता है, Weighted Average का उपयोग भी किया जा सकता है, क्योंकि मूल रूप से दोनों समान हैं।

लेकिन हमारे सामने आने वाले प्रश्न के आधार पर, एक विधि दूसरे की तुलना में तेज़ हो सकती है।

इन बातों का रखें ध्यान:

• यदि Weighted Average (\(A_{wt}\)) दिया गया हो और भार का अनुपात (m : n) ज्ञात करना हो, तो हमें एलीगेशन विधि को प्राथमिकता देनी चाहिए।

• यदि Weighted Average (\(A_{wt}\)) अज्ञात है और इसके बजाय भार (weights) दिए गए हैं, तो Weighted Average सूत्र तेज़ साबित हो सकता है।

प्र. यदि 20 लीटर 10% सांद्रता वाले दूध के घोल में, 15 लीटर 20% सांद्रता वाले दूध के घोल को मिलाया जाता है, तो अंतिम घोल में दूध की सांद्रता क्या होगी?

व्याख्या :
1 2 3

व्याख्या 2: Alligation विधि

आरेख:

\(\frac{m}{n} = \frac{A_{wt} - y}{x - A_{wt}}\)

या \(\frac{15}{20} = \frac{A_{wt} - 10}{20 - A_{wt}}\)

या 3 (20 - \(A_{wt}) = 4 (A_{wt}\) – 10)
या \(A_{wt}\) = 100/7 = 14.28%

नोट

जब weighted average नहीं दिया गया हो, तो हमें एलीगेशन पद्धति के बजाय weighted average पद्धति का उपयोग करना चाहिए।