त्रिकोणमितीय सूत्रों की सूची (List of Trigonometric Formulae)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - List of Trigonometric Formulae, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• त्रिकोणमिति क्या है?
• त्रिकोणमितीय सूत्रों की सूची
• ऊंचाई और दूरी

इस लेख में, हम सभी महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय सूत्रों को सूचीबद्ध करने जा रहे हैं। इन्हें याद करने का प्रयास करें।

वस्तुनिष्ठ प्रकार की एप्टीटुड परीक्षाओं के प्रयोजन के लिए, हमें यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि उन्हें कैसे निकाला जाता है। लेकिन हमें उन्हें याद रखना चाहिए और आवश्यकता पड़ने पर सही सूत्र का उपयोग करने की अपनी क्षमता विकसित करनी चाहिए।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के बीच संबंध (Relation among Trigonometric identities)

जब कोण समान हों (When angles are same)

प्रकार 1

sin θ × cosec θ = 1
cos θ × sec θ = 1
tan θ × cot θ = 1

चेतावनी

यदि दो कोण भिन्न हैं (θ ≠ Φ), तो इन सूत्रों को लागू नहीं किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, sin θ × cosec Φ ≠ 1

प्रकार 2

\(sin^2\) θ + \(cos^2\) θ = 1
\(sec^2\) θ - \(tan^2\) θ = 1
\(cosec^2\) θ - \(cot^2\) θ = 1

चेतावनी

यदि दो कोण भिन्न हैं (θ ≠ Φ), तो इन सूत्रों को लागू नहीं किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, \(sin^2\) θ + \(cos^2\) Φ ≠ 1

प्रकार 3

यदि sin θ + cosec θ = 2, तो:
\(sin^n θ + cosec^n θ\) = 2 (जहाँ n एक प्राकृत संख्या है)

यदि cos θ + sec θ = 2, तो:
\(cos^n θ + sec^n θ\) = 2 (जहाँ n एक प्राकृत संख्या है)

यदि tan θ + cot θ = 2, तो:
\(tan^n θ + cot^n θ\) = 2 (जहाँ n एक प्राकृत संख्या है)

प्रकार 4

यदि:
I. a sin θ + b cos θ = c तथा
II. b sin θ – a cos θ = d या a cos θ - b sin θ = d
तो, \(c^2 + d^2 = a^2 + b^2\)

यदि:
I. sin θ + cos θ = c तथा
II. sin θ – cos θ = d
तो, \(c^2 + d^2\) = 2

यदि:
I. a sec θ + b tan θ = c; b sec θ + a tan θ = d, या
II. a sec θ - b tan θ = c; b sec θ - a tan θ = d
तो, \(a^2 - b^2 = c^2 - d^2\)

यदि:
I. a cosec θ + b cot θ = c; b cosec θ + a cot θ = d, या
II. a cosec θ - b cot θ = c; b cosec θ - a cot θ = d
तो, \(a^2 - b^2 = c^2 - d^2\)

जब कोणों का योग 90° हो (When sum of angles is 90°)

यदि θ + ɸ = 90°, तो:

sin θ × sec ɸ = 1
या, sin θ = cos ɸ

cos θ × cosec ɸ = 1
या, cos θ = sin ɸ

tan θ × tan ɸ = 1
या, tan θ = cot ɸ

cot θ × cot ɸ = 1
या, cot θ = tan ɸ

यदि θ + ɸ + α = 90°, तो:

(tan θ × tan ɸ) + (tan ɸ × tan α) + (tan α × tan θ) = 1

cot θ + cot ɸ + cot α = cot θ × cot ɸ × cot α

जब कोणों का योग 180° हो (When sum of angles is 180°)

यदि θ + ɸ = 180°, तो:

sin θ × cosec ɸ = 1

यदि θ + ɸ + α = 180° (अर्थात हम एक त्रिभुज की बात कर रहे हैं), तो:

tan θ + tan ɸ + tan α = tan θ × tan ɸ × tan α

(cot θ × cot ɸ) + (cot ɸ × cot α) + (cot θ × cot α) = 1

जब कोणों का योग 45° या 225° हो (When sum of angles is 45° or 225°)

यदि θ + ɸ = 45° or 225°, तो:

(1 + tan θ) (1 + tan ɸ) = 2

(cot θ - 1) (cot ɸ - 1) = 2, या
(1 - cot θ) (1 - cot ɸ) = 2

जब कोणों का अंतर 45° या 225° हो (When difference of angles is 45° or 225°)

यदि θ - ɸ = 45° या 225°, तो:

(1 + tan θ) (1 - tan ɸ) = 2

(1 - cot θ) (1 + cot ɸ) = 2

कोण योग और अंतर सूत्र (Sum and Difference formulae)

प्रकार 1

sin (A ± B) = sin A . cos B ± cos A . sin B

cos (A ± B) = cos A . cos B ∓ sin A . sin B

tan (A ± B) = \(\frac{tan A \hspace{1ex} ± \hspace{1ex} tan B}{1 \hspace{1ex} ∓ \hspace{1ex} tan A \hspace{1ex} . \hspace{1ex} tan B}\)

cot (A ± B) = \(\frac{cot A \hspace{1ex} . \hspace{1ex} cotB \hspace{1ex} ∓ \hspace{1ex} 1}{cot A \hspace{1ex} ± \hspace{1ex} cot B}\)

प्रकार 2

sin (A + B) + sin (A - B) = 2 sin A . cos B
sin (A + B) - sin (A - B) = 2 cos A . sin B
cos (A + B) + cos (A - B) = 2 cos A . cos B
cos (A - B) - cos (A + B) = 2 sin A . sin B

प्रकार 3

sin 2A – sin 2B = sin (A + B) . sin (A - B)
cos 2A - cos 2B = cos (A + B) . cos (A - B)

प्रकार 4

sin A + sin B = 2 sin [\(\frac{A + B}{2}\)] . cos [\(\frac{A - B}{2}\)]

sin A – sin B = 2 cos [\(\frac{A + B}{2}\)] . sin [\(\frac{A - B}{2}\)]

cos A + cos B = 2 cos [\(\frac{A + B}{2}\)] . cos [\(\frac{A - B}{2}\)]

cos A – cos B = 2 sin [\(\frac{A + B}{2}\)] . sin [\(\frac{B - A}{2}\)]

कोण गुणकों के त्रिकोणमितीय सूत्र (Trigonometric formulae of Angle Multiples)

sin

sin (2θ) = 2 sin θ cos θ = \(\frac{2 \hspace{1ex} tan θ}{1 + tan^2θ}\)

sin (3θ) = \(3 \hspace{1ex} sin θ - 4 \hspace{1ex} sin^3 θ = sin θ (- 1 + 4 \hspace{1ex} cos^2 θ)\)

sin (4θ) = \(cos θ (4 \hspace{1ex} sin θ - 8 \hspace{1ex} sin^3 θ) = sin θ (- 4 \hspace{1ex} cos θ + 8 \hspace{1ex} cos^3 θ)\)

sin (5θ) = \(5 \hspace{1ex} sin θ - 20 \hspace{1ex} sin^3 θ + 16 \hspace{1ex} sin^5 θ = sin θ (1 - 12 \hspace{1ex} cos^2 θ + 16 \hspace{1ex} cos^4 θ)\)

cos

cos (2θ) = \(cos^2 θ - sin^2 θ = 2 \hspace{1ex} cos^2 θ - 1 = 1 - 2 \hspace{1ex} sin² θ = \frac{1 - tan² θ}{1 + tan² θ}\)

cos (3θ) = \(cos^3 θ - 3 \hspace{1ex} cos θ sin^2 θ = 4 \hspace{1ex} cos^3 θ - 3 \hspace{1ex} cos θ\)

cos (4θ) = \(cos^4 θ - 6 \hspace{1ex} cos^2 θ sin^2 θ + sin^4 θ = 1 - 8 \hspace{1ex} cos^2 θ + 8 \hspace{1ex} cos^4 θ\)

cos (5θ) = \(cos^5 θ - 10 \hspace{1ex} cos^3 θ sin^2 θ + 5 \hspace{1ex} cos θ sin^4 θ = 5 \hspace{1ex} cos θ - 20 \hspace{1ex} cos^3 θ + 16 \hspace{1ex} cos^5 θ\)

tan

tan (2θ) = \(\frac{2 \hspace{1ex} tan θ}{1 - tan^2 θ}\)

tan (3θ) = \(\frac{3 \hspace{1ex} tan θ - tan^3 θ}{1 - 3 \hspace{1ex} tan^2 θ}\)

tan (4θ) = \(\frac{4 \hspace{1ex} tan θ - 4 \hspace{1ex} tan^3 θ}{1 - 6 \hspace{1ex} tan^2 θ + tan^4 θ}\)

Morri’s law

sin θ . sin(60° - θ) . sin (60° + θ) = \(\frac{1}{4}\) sin 3θ

cos θ . cos(60° - θ) . cos (60° + θ) = \(\frac{1}{4}\) cos 3θ

tan θ . tan (60° - θ) . tan (60° + θ) = tan 3θ

cot θ . cot (60° - θ) . cot (60° + θ) = cot 3θ

अधिकतम/न्यूनतम मान (Maximum/Minimum Values)

आरेख:

नोट

sec और cosec का मान -∞ से ∞ के बीच कुछ भी हो सकता है। हालाँकि, यह -1 और 1 के बीच नहीं हो सकता (हालाँकि यह -1 और 1 हो सकता है)।

अर्थात्, sec और cosec के मान की range = ∞ - (-1, 1)

• \(sin^n θ \hspace{1ex} cos^n θ\) का अधिकतम मान = \((1/2)^n\)

• \(sin^n θ \hspace{1ex} cos^n θ\) का न्यूनतम मान = \(-(1/2)^n\) या 0 (यदि n सम है)

• \(sin^n θ + cos^n θ\) का अधिकतम मान = 1 (हमेशा)

• \(sin^n θ + cos^n θ\) का न्यूनतम मान तब होगा जब θ = 45°

• a sin θ ± b cos θ का अधिकतम मान = \(√(a^2 + b^2)\)

a sin θ ± b cos θ का न्यूनतम मान = – \(√(a^2 + b^2)\)

• \(a \hspace{1ex} sin^2 θ + b \hspace{1ex} cos^2 θ\) का अधिकतम मान = a (यदि a > b) या b (यदि b > a)

• \(a \hspace{1ex} sin^2 θ + b \hspace{1ex} cos^2 θ\) का न्यूनतम मान = b (यदि a > b) या a (यदि b > a)

• \(a \hspace{1ex} sin^2 θ + b \hspace{1ex} cosec^2 θ\) का न्यूनतम मान = \(2√ab\) जब b ≤ a, या a + b, जब b ≥ a

• \(a \hspace{1ex} cos^2 θ + b \hspace{1ex} sec^2 θ\) का न्यूनतम मान = \(2√ab\) जब b ≤ a, या a + b, जब b ≥ a

• \(a \hspace{1ex} tan^2 θ + b \hspace{1ex} cot^2 θ\) का न्यूनतम मान = \(2√ab\)

• \(a \hspace{1ex} sec^2 θ + b \hspace{1ex} cosec^2 θ\) का न्यूनतम मान = \((√a + √b)^2\)